Cálculo Exemplos

$y = 5 x^{2} e^{3 x}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x^{2} e^{3 x})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2} e^{3 x}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{3 x}$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$5 (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$5 (x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$5 (x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.4.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$5 (x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x))$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (x^{2} (3 e^{3 x})) + 5 (e^{3 x} (2 x))$

Etapa 3.5.2

Combine os termos.

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Etapa 3.5.2.1

Multiplique $3$ por $5$ .

$15 (x^{2} (e^{3 x})) + 5 (e^{3 x} (2 x))$

Etapa 3.5.2.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$15 x^{2} e^{3 x} + 10 e^{3 x} x$

Etapa 3.5.3

Reordene os termos.

$15 e^{3 x} x^{2} + 10 e^{3 x} x$

Etapa 3.5.4

Reordene os fatores em $15 e^{3 x} x^{2} + 10 e^{3 x} x$ .

$15 x^{2} e^{3 x} + 10 x e^{3 x}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 15 x^{2} e^{3 x} + 10 x e^{3 x}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 15 x^{2} e^{3 x} + 10 x e^{3 x}$