Cálculo Exemplos

$4 x y + \ln (x^{2} y) = 7$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (4 x y + \ln (x^{2} y)) = \frac{d}{d x} (7)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x y + \ln (x^{2} y)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x y$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

Etapa 2.2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} y$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} y$ .

$4 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Etapa 2.3.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} y$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + y (2 x))$

Etapa 2.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + 2 y x)$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (x y') + 4 y + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + 2 y x)$

Etapa 2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (x y') + 4 y + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y') + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

Etapa 2.4.3

Combine os termos.

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Etapa 2.4.3.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x^{2} y}$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{x^{2}}{x^{2} y} y' + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

Etapa 2.4.3.2

Combine $\frac{x^{2}}{x^{2} y}$ e $y'$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

Etapa 2.4.3.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 2.4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$4 x y' + 4 y + \frac{x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

Etapa 2.4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

Etapa 2.4.3.4

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2} y}$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x^{2} y} (y x)$

Etapa 2.4.3.5

Combine $y$ e $\frac{2}{x^{2} y}$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 2}{x^{2} y} x$

Etapa 2.4.3.6

Combine $\frac{y \cdot 2}{x^{2} y}$ e $x$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 2 x}{x^{2} y}$

Etapa 2.4.3.7

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2 \cdot y x}{x^{2} y}$

Etapa 2.4.3.8

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 2.4.3.8.1

Cancele o fator comum.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2 y x}{x^{2} y}$

Etapa 2.4.3.8.2

Reescreva a expressão.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2 x}{x^{2}}$

Etapa 2.4.3.9

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 2.4.3.9.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Etapa 2.4.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.4.3.9.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Etapa 2.4.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Etapa 2.4.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x}$

Etapa 3

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x} = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, 1, y, x, 1$

Etapa 5.1.2

Como $1, 1, y, x, 1$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $1, 1, y, x, 1$ 1) e, depois, o da parte variável $1, 1, y, x, 1$ .

Etapa 5.1.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 5.1.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 5.1.5

O MMC de $1, 1, 1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 5.1.6

O fator de $y^{1}$ é o próprio $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ ocorre $1$ vez.

Etapa 5.1.7

O fator de $x^{1}$ é o próprio $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ ocorre $1$ vez.

Etapa 5.1.8

O MMC de $y^{1}, x^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$y x$

Etapa 5.2

Multiplique cada termo em $4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x} = 0$ por $y x$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.2.1

Multiplique cada termo em $4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x} = 0$ por $y x$ .

$4 x y' (y x) + 4 y (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.2.1.1.1

Mova $x$ .

$4 (x \cdot x) y' y + 4 y (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Etapa 5.2.2.1.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.2.1.2.1

Mova $y$ .

$4 x^{2} y' y + 4 (y \cdot y) x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Etapa 5.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.2.1.3.1

Fatore $y$ de $y x$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + \frac{y'}{y} (y (x)) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Etapa 5.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Etapa 5.2.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Etapa 5.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.2.1.4.1

Fatore $x$ de $y x$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + \frac{2}{x} (x y) = 0 (y x)$

Etapa 5.2.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + \frac{2}{x} (x y) = 0 (y x)$

Etapa 5.2.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + 2 y = 0 (y x)$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Multiplique $0 (y x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Multiplique $y$ por $0$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + 2 y = 0 x$

Etapa 5.2.3.1.2

Multiplique $0$ por $x$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + 2 y = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação.

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Etapa 5.3.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Subtraia $4 y^{2} x$ dos dois lados da equação.

$4 x^{2} y' y + y' x + 2 y = - 4 y^{2} x$

Etapa 5.3.1.2

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$4 x^{2} y' y + y' x = - 4 y^{2} x - 2 y$

Etapa 5.3.2

Fatore $x y'$ de $4 x^{2} y' y + y' x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Fatore $x y'$ de $4 x^{2} y' y$ .

$x y' (4 x y) + y' x = - 4 y^{2} x - 2 y$

Etapa 5.3.2.2

Fatore $x y'$ de $y' x$ .

$x y' (4 x y) + x y' \cdot 1 = - 4 y^{2} x - 2 y$

Etapa 5.3.2.3

Fatore $x y'$ de $x y' (4 x y) + x y' \cdot 1$ .

$x y' (4 x y + 1) = - 4 y^{2} x - 2 y$

Etapa 5.3.3

Divida cada termo em $x y' (4 x y + 1) = - 4 y^{2} x - 2 y$ por $x (4 x y + 1)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.3.1

Divida cada termo em $x y' (4 x y + 1) = - 4 y^{2} x - 2 y$ por $x (4 x y + 1)$ .

$\frac{x y' (4 x y + 1)}{x (4 x y + 1)} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y' (4 x y + 1)}{x (4 x y + 1)} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Etapa 5.3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (4 x y + 1)}{4 x y + 1} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Etapa 5.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $4 x y + 1$ .

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Etapa 5.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (4 x y + 1)}{4 x y + 1} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Etapa 5.3.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Etapa 5.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.3.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- 4 y^{2}}{4 x y + 1} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.2

Para escrever $- \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(4 x y + 1) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.3.3.3.3.1

Multiplique $\frac{4 y^{2}}{4 x y + 1}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{4 y^{2} x}{(4 x y + 1) x} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.3.2

Reordene os fatores de $(4 x y + 1) x$ .

$y' = - \frac{4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 4 y^{2} x - 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.5

Fatore $2 y$ de $- 4 y^{2} x - 2 y$ .

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Etapa 5.3.3.3.5.1

Fatore $2 y$ de $- 4 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 y (- 2 y x) - 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.5.2

Fatore $2 y$ de $- 2 y$ .

$y' = \frac{2 y (- 2 y x) + 2 y (- 1)}{x (4 x y + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.5.3

Fatore $2 y$ de $2 y (- 2 y x) + 2 y (- 1)$ .

$y' = \frac{2 y (- 2 y x - 1)}{x (4 x y + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.6

Fatore $- 1$ de $- 2 y x$ .

$y' = \frac{2 y (- (2 y x) - 1)}{x (4 x y + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.7

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{2 y (- (2 y x) - 1 (1))}{x (4 x y + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.8

Fatore $- 1$ de $- (2 y x) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{2 y (- (2 y x + 1))}{x (4 x y + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.3.3.9.1

Reescreva $- (2 y x + 1)$ como $- 1 (2 y x + 1)$ .

$y' = \frac{2 y (- 1 (2 y x + 1))}{x (4 x y + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.9.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{(2 y) (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.9.3

Reordene os fatores em $- \frac{(2 y) (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$ .

$y' = - \frac{2 y (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$