Cálculo Exemplos

$x \cos (y) = 1$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x \cos (y)) = \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

Etapa 2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $\cos (y)$ por $1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

Etapa 2.5.2

Reordene os termos.

$- x \sin (y) y' + \cos (y)$

Etapa 3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- x \sin (y) y' + \cos (y) = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $- x \sin (y) y' + \cos (y)$ .

$- x y' \sin (y) + \cos (y) = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $\cos (y)$ dos dois lados da equação.

$- x y' \sin (y) = - \cos (y)$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ por $- x \sin (y)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ por $- x \sin (y)$ .

$\frac{- x y' \sin (y)}{- x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Etapa 5.3.2.3

Cancele o fator comum de $\sin (y)$ .

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Etapa 5.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Etapa 5.3.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y' = \frac{\cos (y)}{x \sin (y)}$

Etapa 5.3.3.2

Separe as frações.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Etapa 5.3.3.3

Converta de $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ em $\cot (y)$ .

$y' = \frac{1}{x} \cot (y)$

Etapa 5.3.3.4

Combine $\frac{1}{x}$ e $\cot (y)$ .

$y' = \frac{\cot (y)}{x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cot (y)}{x}$