Cálculo Exemplos

$1 = 3 x + 2 x^{2} y^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (1) = \frac{d}{d x} (3 x + 2 x^{2} y^{2})$

Etapa 2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 2 x^{2} y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2} y^{2}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2} y^{2}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x^{2} y^{2}]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2 x^{2} y^{2}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2} y^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2} y^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$3 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$3 + 2 (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$3 + 2 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 + 2 (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 + 2 (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 + 2 (x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 + 2 (x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x))$

Etapa 3.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$3 + 2 (2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x))$

Etapa 3.3.7

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$3 + 2 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x)$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 + 2 (2 x^{2} y y') + 2 (2 y^{2} x)$

Etapa 3.4.2

Combine os termos.

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Etapa 3.4.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 + 4 (x^{2} y y') + 2 (2 y^{2} x)$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 + 4 x^{2} y y' + 4 y^{2} x$

Etapa 3.4.3

Reordene os termos.

$4 x^{2} y y' + 4 y^{2} x + 3$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$0 = 4 x^{2} y y' + 4 y^{2} x + 3$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $4 x^{2} y y' + 4 y^{2} x + 3 = 0$ .

$4 x^{2} y y' + 4 y^{2} x + 3 = 0$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $4 y^{2} x$ dos dois lados da equação.

$4 x^{2} y y' + 3 = - 4 y^{2} x$

Etapa 5.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$4 x^{2} y y' = - 4 y^{2} x - 3$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $4 x^{2} y y' = - 4 y^{2} x - 3$ por $4 x^{2} y$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $4 x^{2} y y' = - 4 y^{2} x - 3$ por $4 x^{2} y$ .

$\frac{4 x^{2} y y'}{4 x^{2} y} = \frac{- 4 y^{2} x}{4 x^{2} y} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{2} y y'}{4 x^{2} y} = \frac{- 4 y^{2} x}{4 x^{2} y} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 4 y^{2} x}{4 x^{2} y} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 4 y^{2} x}{4 x^{2} y} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Etapa 5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 y^{2} x}{4 x^{2} y} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Etapa 5.3.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 y^{2} x}{4 x^{2} y} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Etapa 5.3.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4 y^{2} x}{4 x^{2} y} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $4$ .

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Etapa 5.3.3.1.1.1

Fatore $4$ de $- 4 y^{2} x$ .

$y' = \frac{4 (- y^{2} x)}{4 x^{2} y} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Etapa 5.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.1.2.1

Fatore $4$ de $4 x^{2} y$ .

$y' = \frac{4 (- y^{2} x)}{4 (x^{2} y)} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Etapa 5.3.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{4 (- y^{2} x)}{4 (x^{2} y)} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Etapa 5.3.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x^{2} y} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Etapa 5.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

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Etapa 5.3.3.1.2.1

Fatore $y$ de $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{x^{2} y} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.2.2.1

Fatore $y$ de $x^{2} y$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Etapa 5.3.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Etapa 5.3.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y x}{x^{2}} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Etapa 5.3.3.1.3

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.3.1

Fatore $x$ de $- y x$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x^{2}} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Etapa 5.3.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.3.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Etapa 5.3.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Etapa 5.3.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y}{x} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Etapa 5.3.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Etapa 5.3.3.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y}{x} - \frac{3}{4 x^{2} y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} - \frac{3}{4 x^{2} y}$