Cálculo Exemplos

$15 x = 15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (15 x) = \frac{d}{d x} (15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 x$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$15 \cdot 1$

Etapa 2.3

Multiplique $15$ por $1$ .

$15$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [15 y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [15 y]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 y$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [y]$ .

$15 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$15 y' + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 y^{3}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 y^{3}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$15 y' + 5 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$15 y' + 5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$15 y' + 5 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$15 y' + 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Etapa 3.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$15 y' + 5 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Etapa 3.3.4

Multiplique $3$ por $5$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [3 y^{5}]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y^{5}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 \frac{d}{d x} [y^{5}]$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.4.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 y^{4} y')$

Etapa 3.4.4

Multiplique $5$ por $3$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 15 y^{4} y'$

Etapa 3.5

Reordene os termos.

$15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$15 = 15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$ .

$15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$

Etapa 5.2

Fatore $15 y'$ de $15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $15 y'$ de $15 y^{2} y'$ .

$15 y' y^{2} + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$

Etapa 5.2.2

Fatore $15 y'$ de $15 y^{4} y'$ .

$15 y' y^{2} + 15 y' y^{4} + 15 y' = 15$

Etapa 5.2.3

Fatore $15 y'$ de $15 y'$ .

$15 y' y^{2} + 15 y' y^{4} + 15 y' \cdot 1 = 15$

Etapa 5.2.4

Fatore $15 y'$ de $15 y' y^{2} + 15 y' y^{4}$ .

$15 y' (y^{2} + y^{4}) + 15 y' \cdot 1 = 15$

Etapa 5.2.5

Fatore $15 y'$ de $15 y' (y^{2} + y^{4}) + 15 y' \cdot 1$ .

$15 y' (y^{2} + y^{4} + 1) = 15$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$15 y' (y^{4} + y^{2} + 1) = 15$

Etapa 5.4

Fatore.

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Etapa 5.4.1

Reescreva $y^{4} + y^{2} + 1$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.4.1.1

Reescreva o termo central.

$15 y' (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 - y^{2} + 1) = 15$

Etapa 5.4.1.2

Reorganize os termos.

$15 y' (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 + 1 - y^{2}) = 15$

Etapa 5.4.1.3

Fatore os três primeiros termos pela regra do quadrado perfeito.

$15 y' ({(y^{2} + 1)}^{2} - y^{2}) = 15$

Etapa 5.4.1.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y^{2} + 1$ e $b = y$ .

$15 y' ((y^{2} + 1 + y) (y^{2} + 1 - y)) = 15$

Etapa 5.4.1.5

Simplifique.

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Etapa 5.4.1.5.1

Reordene os termos.

$15 y' ((y^{2} + y + 1) (y^{2} + 1 - y)) = 15$

Etapa 5.4.1.5.2

Reordene os termos.

$15 y' ((y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)) = 15$

Etapa 5.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$ por $15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$ por $15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)$ .

$\frac{15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $15$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Etapa 5.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Etapa 5.5.2.2

Cancele o fator comum de $y^{2} + y + 1$ .

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Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Etapa 5.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (y^{2} - y + 1)}{y^{2} - y + 1} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Etapa 5.5.2.3

Cancele o fator comum de $y^{2} - y + 1$ .

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Etapa 5.5.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y^{2} - y + 1)}{y^{2} - y + 1} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Etapa 5.5.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Cancele o fator comum de $15$ .

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Etapa 5.5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Etapa 5.5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{1}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$