Cálculo Exemplos

$x^{4} + y^{4} = a^{4}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d a} (x^{4} + y^{4}) = \frac{d}{d a} (a^{4})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + y^{4}$ com relação a $a$ é $\frac{d}{d a} [x^{4}] + \frac{d}{d a} [y^{4}]$ .

$\frac{d}{d a} [x^{4}] + \frac{d}{d a} [y^{4}]$

Etapa 2.1.2

Como $x^{4}$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $x^{4}$ em relação a $a$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d a} [y^{4}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d a} [y^{4}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ é $f' (g (a)) g' (a)$ , em que $f (a) = a^{4}$ e $g (a) = y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d a} [y]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$0 + 4 u^{3} \frac{d}{d a} [y]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$0 + 4 y^{3} \frac{d}{d a} [y]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d a} [y]$ como $y'$ .

$0 + 4 y^{3} y'$

Etapa 2.3

Some $0$ e $4 y^{3} y'$ .

$4 y^{3} y'$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ é $n a^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 a^{3}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$4 y^{3} y' = 4 a^{3}$

Etapa 5

Divida cada termo em $4 y^{3} y' = 4 a^{3}$ por $4 y^{3}$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $4 y^{3} y' = 4 a^{3}$ por $4 y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{4 a^{3}}{4 y^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{4 a^{3}}{4 y^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{4 a^{3}}{4 y^{3}}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $y^{3}$ .

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{4 a^{3}}{4 y^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4 a^{3}}{4 y^{3}}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{4 a^{3}}{4 y^{3}}$

Etapa 5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{a^{3}}{y^{3}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d a}$ .

$\frac{d y}{d a} = \frac{a^{3}}{y^{3}}$