Cálculo Exemplos

$y = e^{\tan (π t)}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (e^{\tan (π t)})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $t$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = \tan (π t)$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\tan (π t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [\tan (π t)]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [\tan (π t)]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\tan (π t)$ .

$e^{\tan (π t)} \frac{d}{d t} [\tan (π t)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \tan (t)$ e $g (t) = π t$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $π t$ .

$e^{\tan (π t)} (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d t} [π t])$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\tan (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec^{2} (u_{2})$ .

$e^{\tan (π t)} (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [π t])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $π t$ .

$e^{\tan (π t)} (\sec^{2} (π t) \frac{d}{d t} [π t])$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Como $π$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $π t$ em relação a $t$ é $π \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t) (π \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t) (π \cdot 1)$

Etapa 3.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.3.1

Multiplique $π$ por $1$ .

$e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t) π$

Etapa 3.3.3.2

Reordene os fatores de $e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t) π$ .

$π e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = π e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = π e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t)$