Cálculo Exemplos

$y = \frac{4 x}{x - 3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x}{x - 3})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x}{x - 3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x - 3$ .

$4 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \frac{(x - 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $x - 3$ por $1$ .

$4 \frac{x - 3 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 \frac{x - 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \frac{x - 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.5

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 \frac{x - 3 - x (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.6

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.6.1

Some $1$ e $0$ .

$4 \frac{x - 3 - x \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 \frac{x - 3 - x}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.6.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$4 \frac{0 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.6.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.6.4.1

Subtraia $3$ de $0$ .

$4 \frac{- 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.6.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 (- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}})$

Etapa 3.3.6.4.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 \frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.6.5

Combine $- 4$ e $\frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.6.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.6.6.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$\frac{- 12}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.6.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{12}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{12}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{12}{{(x - 3)}^{2}}$