Cálculo Exemplos

$y = \frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1 - \sec (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) \frac{d}{d x} [1 - \sec (x)] - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \sec (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ .

$\frac{\tan (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ .

$\frac{\tan (x) \frac{d}{d x} [- \sec (x)] - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sec (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{\tan (x) (- \frac{d}{d x} [\sec (x)]) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.3

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) (- (\sec (x) \tan (x))) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.4

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.5

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- \sec (x) {\tan (x)}^{1 + 1} - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.8

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - (1 - \sec (x)) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9

Simplifique.

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Etapa 3.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) + (- 1 \cdot 1 - - \sec (x)) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 1 \cdot 1 \sec^{2} (x) - - \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.9.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.9.3.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 1 \sec^{2} (x) - - \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.3.1.2

Reescreva $- 1 \sec^{2} (x)$ como $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - - \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.3.1.3

Multiplique $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 3.9.3.1.3.1

Mova $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - - (\sec^{2} (x) \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.3.1.3.2

Multiplique $\sec^{2} (x)$ por $\sec (x)$ .

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Etapa 3.9.3.1.3.2.1

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x))}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.3.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - - {\sec (x)}^{2 + 1}}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.3.1.3.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - - \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.3.1.4

Multiplique $- - \sec^{3} (x)$ .

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Etapa 3.9.3.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1 \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.3.1.4.2

Multiplique $\sec^{3} (x)$ por $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.3.2

Fatore $\sec (x)$ de $- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)$ .

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Etapa 3.9.3.2.1

Fatore $\sec (x)$ de $- \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) - \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.3.2.2

Fatore $\sec (x)$ de $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec (x)) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.3.2.3

Fatore $\sec (x)$ de $\sec^{3} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.3.2.4

Fatore $\sec (x)$ de $\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec (x))$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) - \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.3.2.5

Fatore $\sec (x)$ de $\sec (x) (- \tan^{2} (x) - \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) - \sec (x) + \sec^{2} (x))}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.3.3

Mova $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.3.4

Reordene $- \tan^{2} (x)$ e $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) - \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.3.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\sec (x) (1 - \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.3.7

Multiplique $\sec (x)$ por $1$ .

$\frac{\sec (x) + \sec (x) (- \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.3.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\sec (x) - \sec (x) \sec (x)}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.3.9

Multiplique $- \sec (x) \sec (x)$ .

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Etapa 3.9.3.9.1

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sec (x) - (\sec^{1} (x) \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.3.9.2

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sec (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x))}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.3.9.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sec (x) - {\sec (x)}^{1 + 1}}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.3.9.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.4

Fatore $\sec (x)$ de $\sec (x) - \sec^{2} (x)$ .

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Etapa 3.9.4.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{\sec (x) \cdot 1 - \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.4.2

Fatore $\sec (x)$ de $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.4.3

Fatore $\sec (x)$ de $\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))$ .

$\frac{\sec (x) (1 - \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 3.9.5

Fatore $\tan (x)$ de $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (1 - \sec (x))}{\tan (x) \tan (x)}$

Etapa 3.9.6

Separe as frações.

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\tan (x)}$

Etapa 3.9.7

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Etapa 3.9.8

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Etapa 3.9.9

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Etapa 3.9.10

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.9.10.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Etapa 3.9.10.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 3.9.11

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} \csc (x)$

Etapa 3.9.12

Combine $\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)}$ e $\csc (x)$ .

$\frac{(1 - \sec (x)) \csc (x)}{\tan (x)}$

Etapa 3.9.13

Separe as frações.

$\frac{1 - \sec (x)}{1} \cdot \frac{\csc (x)}{\tan (x)}$

Etapa 3.9.14

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1 - \sec (x)}{1} \cdot \frac{\csc (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Etapa 3.9.15

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1 - \sec (x)}{1} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Etapa 3.9.16

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{1} (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Etapa 3.9.17

Simplifique.

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Etapa 3.9.17.1

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{1} (\csc (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Etapa 3.9.17.2

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{1} (\csc (x) \cot (x))$

Etapa 3.9.18

Divida $1 - \sec (x)$ por $1$ .

$(1 - \sec (x)) (\csc (x) \cot (x))$

Etapa 3.9.19

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (\csc (x) \cot (x)) - \sec (x) (\csc (x) \cot (x))$

Etapa 3.9.20

Multiplique $\csc (x) \cot (x)$ por $1$ .

$\csc (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) \cot (x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \csc (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) \cot (x)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) \cot (x)$