Cálculo Exemplos

$y = e^{9 \sqrt{x}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = e^{9 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{9 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 9 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $9 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $9 x^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2

Diferencie.

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Etapa 4.2.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Etapa 4.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Etapa 4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Etapa 4.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 4.9

Combine $9$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} \frac{9 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.10

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.11

Combine $e^{9 x^{\frac{1}{2}}}$ e $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{9 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.12

Mova $9$ para a esquerda de $e^{9 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{9 e^{9 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{9 e^{9 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 e^{9 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$