Cálculo Exemplos

$\ln (9 y) = e^{y} \sin (5 x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\ln (9 y)) = \frac{d}{d x} (e^{y} \sin (5 x))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 9 y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $9 y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $9 y$ .

$\frac{1}{9 y} \frac{d}{d x} [9 y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.2.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 y$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{9 y} (9 \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.2.2.1

Combine $9$ e $\frac{1}{9 y}$ .

$\frac{9}{9 y} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.2.2

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 2.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9}{9 y} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Etapa 2.4

Combine $\frac{1}{y}$ e $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{y}$ e $g (x) = \sin (5 x)$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $5 x$ .

$e^{y} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$e^{y} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 x$ .

$e^{y} (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{y} \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{y} \cos (5 x) (5 \cdot 1) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Etapa 3.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.3.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$e^{y} \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Etapa 3.3.3.2

Mova $5$ para a esquerda de $e^{y} \cos (5 x)$ .

$5 \cdot (e^{y} \cos (5 x)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) e^{y} y'$

Etapa 3.6

Reordene os termos.

$5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{y'}{y} = 5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y'}{y} y = (5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$

Etapa 5.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = (5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique $(5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = 5 e^{y} \cos (5 x) y + e^{y} \sin (5 x) y' y$

Etapa 5.2.2.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.2.2.1.2.1

Reordene os fatores em $5 e^{y} \cos (5 x) y + e^{y} \sin (5 x) y' y$ .

$y' = 5 y e^{y} \cos (5 x) + y' y e^{y} \sin (5 x)$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Reordene $5 y e^{y} \cos (5 x)$ e $y' y e^{y} \sin (5 x)$ .

$y' = y' y e^{y} \sin (5 x) + 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Etapa 5.3

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.3.1

Subtraia $y' y e^{y} \sin (5 x)$ dos dois lados da equação.

$y' - y' y e^{y} \sin (5 x) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $y' - y' y e^{y} \sin (5 x)$ .

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Etapa 5.3.2.1

Fatore $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - y' y e^{y} \sin (5 x) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Etapa 5.3.2.2

Fatore $y'$ de $- y' y e^{y} \sin (5 x)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Etapa 5.3.2.3

Fatore $y'$ de $y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (5 x))$ .

$y' (1 - 1 y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Etapa 5.3.3

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$y' (1 - y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Etapa 5.3.4

Divida cada termo em $y' (1 - y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$ por $1 - y e^{y} \sin (5 x)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.4.1

Divida cada termo em $y' (1 - y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$ por $1 - y e^{y} \sin (5 x)$ .

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (5 x))}{1 - y e^{y} \sin (5 x)} = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$

Etapa 5.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $1 - y e^{y} \sin (5 x)$ .

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Etapa 5.3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (5 x))}{1 - y e^{y} \sin (5 x)} = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$

Etapa 5.3.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$