Cálculo Exemplos

$\ln (y) = x \ln (x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\ln (y)) = \frac{d}{d x} (x \ln (x))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Etapa 2.3

Combine $\frac{1}{y}$ e $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.3.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Etapa 3.3.4

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$1 + \ln (x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{y'}{y} = 1 + \ln (x)$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (1 + \ln (x)) y$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y'}{y} y = (1 + \ln (x)) y$

Etapa 5.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = (1 + \ln (x)) y$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique $(1 + \ln (x)) y$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = 1 y + \ln (x) y$

Etapa 5.2.2.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.2.2.1.2.1

Multiplique $y$ por $1$ .

$y' = y + \ln (x) y$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Reordene os fatores em $y + \ln (x) y$ .

$y' = y + y \ln (x)$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y + y \ln (x)$