Cálculo Exemplos

$\sin (x) = x (1 + \tan (y))$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\sin (x)) = \frac{d}{d x} (x (1 + \tan (y)))$

Etapa 2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 1 + \tan (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [1 + \tan (y)] + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \tan (y)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (y)]$ .

$x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (y)]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [\tan (y)]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\tan (y)]$ .

$x \frac{d}{d x} [\tan (y)] + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x (\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x \sec^{2} (y) y' + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x \sec^{2} (y) y' + (1 + \tan (y)) \cdot 1$

Etapa 3.6

Multiplique $1 + \tan (y)$ por $1$ .

$x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\cos (x) = x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y)$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y) = \cos (x)$ .

$x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y) = \cos (x)$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Reordene os fatores em $x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y)$ .

$x y' \sec^{2} (y) + 1 + \tan (y) = \cos (x)$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x y' \sec^{2} (y) + \tan (y) = \cos (x) - 1$

Etapa 5.3.2

Subtraia $\tan (y)$ dos dois lados da equação.

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$

Etapa 5.3.3

Reescreva $\tan (y)$ em termos de senos e cossenos.

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

Etapa 5.3.4

Converta de $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ em $\tan (y)$ .

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$ por $x \sec^{2} (y)$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$ por $x \sec^{2} (y)$ .

$\frac{x y' \sec^{2} (y)}{x \sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y' \sec^{2} (y)}{x \sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' \sec^{2} (y)}{\sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $\sec^{2} (y)$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' \sec^{2} (y)}{\sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Etapa 5.4.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.3.1.1

Fatore $\sec (y)$ de $\sec^{2} (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{x (\sec (y) \sec (y))} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Etapa 5.4.3.1.2

Separe as frações.

$y' = \frac{1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sec (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Etapa 5.4.3.1.3

Reescreva $\sec (y)$ em termos de senos e cossenos.

$y' = \frac{1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (y)}} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Etapa 5.4.3.1.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = \frac{1}{x (\sec (y))} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Etapa 5.4.3.1.5

Separe as frações.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\sec (y)} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Etapa 5.4.3.1.6

Reescreva $\sec (y)$ em termos de senos e cossenos.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Etapa 5.4.3.1.7

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = \frac{1}{x} (1 \cos (y)) (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Etapa 5.4.3.1.8

Multiplique $\cos (y)$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{x} \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Etapa 5.4.3.1.9

Combine $\frac{1}{x}$ e $\cos (y)$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{x} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Etapa 5.4.3.1.10

Multiplique $\frac{\cos (y)}{x} (\cos (x) \cos (y))$ .

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Etapa 5.4.3.1.10.1

Combine $\cos (x)$ e $\frac{\cos (y)}{x}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{x} \cos (y) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Etapa 5.4.3.1.10.2

Combine $\frac{\cos (x) \cos (y)}{x}$ e $\cos (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \cos (y)}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Etapa 5.4.3.1.10.3

Eleve $\cos (y)$ à potência de $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) (\cos^{1} (y) \cos (y))}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Etapa 5.4.3.1.10.4

Eleve $\cos (y)$ à potência de $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) (\cos^{1} (y) \cos^{1} (y))}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Etapa 5.4.3.1.10.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = \frac{\cos (x) {\cos (y)}^{1 + 1}}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Etapa 5.4.3.1.10.6

Some $1$ e $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Etapa 5.4.3.1.11

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.4.3.1.11.1

Reescreva $\sec (y)$ em termos de senos e cossenos.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x {(\frac{1}{\cos (y)})}^{2}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Etapa 5.4.3.1.11.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Etapa 5.4.3.1.11.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x \frac{1}{\cos^{2} (y)}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Etapa 5.4.3.1.12

Combine $x$ e $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{\frac{x}{\cos^{2} (y)}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Etapa 5.4.3.1.13

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Etapa 5.4.3.1.14

Fatore $\sec (y)$ de $\sec^{2} (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- \tan (y)}{x (\sec (y) \sec (y))}$

Etapa 5.4.3.1.15

Separe as frações.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\tan (y)}{\sec (y)}$

Etapa 5.4.3.1.16

Reescreva $\sec (y)$ em termos de senos e cossenos.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\tan (y)}{\frac{1}{\cos (y)}}$

Etapa 5.4.3.1.17

Reescreva $\tan (y)$ em termos de senos e cossenos.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{\frac{1}{\cos (y)}}$

Etapa 5.4.3.1.18

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cos (y))$

Etapa 5.4.3.1.19

Escreva $\cos (y)$ como uma fração com denominador $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{1})$

Etapa 5.4.3.1.20

Cancele o fator comum de $\cos (y)$ .

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Etapa 5.4.3.1.20.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{1})$

Etapa 5.4.3.1.20.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \sin (y)$

Etapa 5.4.3.1.21

Separe as frações.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} \cdot \frac{1}{\sec (y)} \sin (y)$

Etapa 5.4.3.1.22

Reescreva $\sec (y)$ em termos de senos e cossenos.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} \sin (y)$

Etapa 5.4.3.1.23

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} (1 \cos (y)) \sin (y)$

Etapa 5.4.3.1.24

Multiplique $\cos (y)$ por $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} \cos (y) \sin (y)$

Etapa 5.4.3.1.25

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{1}{x} \cos (y) \sin (y)$

Etapa 5.4.3.1.26

Combine $\cos (y)$ e $\frac{1}{x}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos (y)}{x} \sin (y)$

Etapa 5.4.3.1.27

Combine $\sin (y)$ e $\frac{\cos (y)}{x}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{\sin (y) \cos (y)}{x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{\sin (y) \cos (y)}{x}$