Cálculo Exemplos

$y = - \frac{x}{y}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- \frac{x}{y})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{x}{y}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$- \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.3.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$- \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $\frac{x}{y}$ por $0$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

Etapa 3.6.2

Some $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ e $0$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por $y^{2}$ .

$y' y^{2} = - \frac{y - x y'}{y^{2}} y^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.1

Simplifique $- \frac{y - x y'}{y^{2}} y^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ para o numerador.

$y' y^{2} = \frac{- (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$y' y^{2} = \frac{- (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Etapa 5.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$y' y^{2} = - (y - x y')$

Etapa 5.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y' y^{2} = - y - (- x y')$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- (- x y')$ .

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Etapa 5.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y' y^{2} = - y + 1 (x y')$

Etapa 5.2.1.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$y' y^{2} = - y + x y'$

Etapa 5.2.1.4

Reordene $x$ e $y'$ .

$y' y^{2} = - y + y' x$

Etapa 5.2.1.5

Reordene $- y$ e $y' x$ .

$y' y^{2} = y' x - y$

Etapa 5.3

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.3.1

Subtraia $y' x$ dos dois lados da equação.

$y' y^{2} - y' x = - y$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $y' y^{2} - y' x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Fatore $y'$ de $y' y^{2}$ .

$y' (y^{2}) - y' x = - y$

Etapa 5.3.2.2

Fatore $y'$ de $- y' x$ .

$y' (y^{2}) + y' (- 1 x) = - y$

Etapa 5.3.2.3

Fatore $y'$ de $y' (y^{2}) + y' (- 1 x)$ .

$y' (y^{2} - 1 x) = - y$

Etapa 5.3.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y' (y^{2} - x) = - y$

Etapa 5.3.4

Divida cada termo em $y' (y^{2} - x) = - y$ por $y^{2} - x$ e simplifique.

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Etapa 5.3.4.1

Divida cada termo em $y' (y^{2} - x) = - y$ por $y^{2} - x$ .

$\frac{y' (y^{2} - x)}{y^{2} - x} = \frac{- y}{y^{2} - x}$

Etapa 5.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $y^{2} - x$ .

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Etapa 5.3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y^{2} - x)}{y^{2} - x} = \frac{- y}{y^{2} - x}$

Etapa 5.3.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y}{y^{2} - x}$

Etapa 5.3.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y}{y^{2} - x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y^{2} - x}$