Cálculo Exemplos

$y = \frac{e^{x}}{1 - e^{x}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 1 - e^{x}$ .

$\frac{(1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Etapa 3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} - e^{x} (- \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Etapa 3.5

Multiplique.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + 1 e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + e^{x} e^{x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Etapa 5

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + e^{x + x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Etapa 5.2

Some $x$ e $x$ .

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 e^{x} - e^{x} e^{x} + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{e^{x} - e^{x} e^{x} + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.1.2.1

Mova $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} - (e^{x} e^{x}) + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{e^{x} - e^{x + x} + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2.3

Some $x$ e $x$ .

$\frac{e^{x} - e^{2 x} + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Combine os termos opostos em $e^{x} - e^{2 x} + e^{2 x}$ .

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Etapa 6.2.2.1

Some $- e^{2 x}$ e $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{x} + 0}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $e^{x}$ e $0$ .

$\frac{e^{x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$