Cálculo Exemplos

$y = {\cos (x)}^{x}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 1.1

Reescreva ${\cos (x)}^{x}$ como $e^{\ln ({\cos (x)}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (x)}^{x})}]$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({\cos (x)}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (\cos (x))}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x \ln (\cos (x))$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x \ln (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (x))]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (x))]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x \ln (\cos (x))$ .

$e^{x \ln (\cos (x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (x))]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (\cos (x))$ .

$e^{x \ln (\cos (x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\cos (x)$ .

$e^{x \ln (\cos (x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (\cos (x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\cos (x)$ .

$e^{x \ln (\cos (x))} (x (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$e^{x \ln (\cos (x))} (x (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$e^{x \ln (\cos (x))} (x (\sec (x) (- \sin (x))) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 7.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x \ln (\cos (x))} (x (\sec (x) (- \sin (x))) + \ln (\cos (x)) \cdot 1)$

Etapa 7.2

Multiplique $\ln (\cos (x))$ por $1$ .

$e^{x \ln (\cos (x))} (x (\sec (x) (- \sin (x))) + \ln (\cos (x)))$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x \ln (\cos (x))} (x (\sec (x) (- \sin (x)))) + e^{x \ln (\cos (x))} \ln (\cos (x))$

Etapa 8.2

Remova os parênteses.

$e^{x \ln (\cos (x))} x \sec (x) (- \sin (x)) + e^{x \ln (\cos (x))} \ln (\cos (x))$

Etapa 8.3

Reordene os termos.

$- e^{x \ln (\cos (x))} x \sec (x) \sin (x) + e^{x \ln (\cos (x))} \ln (\cos (x))$