Cálculo Exemplos

$y = \frac{x}{3} - \frac{3}{x}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{3} - \frac{3}{x})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x}{3} - \frac{3}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{x}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{3} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{1}{3} - 3 (- x^{- 2})$

Etapa 3.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{1}{3} + 3 x^{- 2}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} + 3 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 3.4.2

Combine $3$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{2}}$

Etapa 3.4.3

Reordene os termos.

$\frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{3}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{3}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{3}$