Cálculo Exemplos

$\cos (2 x) + \sin (x) = 1$ , $[0, 2 π)$

Etapa 1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\cos (2 x) + \sin (x) - 1 = 0$

Etapa 2

Simplifique o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 1 = 0$

Etapa 2.2

Combine os termos opostos em $1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 1$ .

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Etapa 2.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$0 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Etapa 2.2.2

Subtraia $2 \sin^{2} (x)$ de $0$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Etapa 3

Fatore $\sin (x)$ de $- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x)$ .

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Etapa 3.1

Fatore $\sin (x)$ de $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) = 0$

Etapa 3.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) = 0$

Etapa 3.3

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{1} (x)$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 = 0$

Etapa 3.4

Fatore $\sin (x)$ de $\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Etapa 5

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 5.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 5.2.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 5.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Defina $- 2 \sin (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $- 2 \sin (x) + 1$ como igual a $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Etapa 6.2.2

Divida cada termo em $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 6.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 6.2.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Etapa 6.2.6

Simplifique $π - \frac{π}{6}$ .

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Etapa 6.2.6.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 6.2.6.2

Combine frações.

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Etapa 6.2.6.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 6.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 6.2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.6.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 6.2.6.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 6.2.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 6.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.2.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Consolide $2 π n$ e $π + 2 π n$ em $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Encontre os valores de $n$ que produzem um valor dentro do intervalo $[0, 2 π)$ .

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Etapa 9.1

Substitua $0$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

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Etapa 9.1.1

Substitua $0$ por $n$ .

$π (0)$

Etapa 9.1.2

Multiplique $π$ por $0$ .

$0$

Etapa 9.1.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $0$ .

$x = 0$

Etapa 9.2

Substitua $0$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

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Etapa 9.2.1

Substitua $0$ por $n$ .

$\frac{π}{6} + 2 π (0)$

Etapa 9.2.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.2.1

Multiplique $2 π (0)$ .

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Etapa 9.2.2.1.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$\frac{π}{6} + 0 π$

Etapa 9.2.2.1.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Etapa 9.2.2.2

Some $\frac{π}{6}$ e $0$ .

$\frac{π}{6}$

Etapa 9.2.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $\frac{π}{6}$ .

$x = 0, \frac{π}{6}$

Etapa 9.3

Substitua $0$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

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Etapa 9.3.1

Substitua $0$ por $n$ .

$\frac{5 π}{6} + 2 π (0)$

Etapa 9.3.2

Simplifique.

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Etapa 9.3.2.1

Multiplique $2 π (0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$\frac{5 π}{6} + 0 π$

Etapa 9.3.2.1.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$\frac{5 π}{6} + 0$

Etapa 9.3.2.2

Some $\frac{5 π}{6}$ e $0$ .

$\frac{5 π}{6}$

Etapa 9.3.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $\frac{5 π}{6}$ .

$x = 0, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Etapa 9.4

Substitua $1$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

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Etapa 9.4.1

Substitua $1$ por $n$ .

$π (1)$

Etapa 9.4.2

Multiplique $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 9.4.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $π$ .

$x = 0, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, π$