Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} + 5 x$ , $x = 4$

Etapa 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

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Etapa 1.1

Substitua $4$ por $x$ .

$y = {(4)}^{2} + 5 (4)$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = 4^{2} + 5 (4)$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = {(4)}^{2} + 5 (4)$

Etapa 1.2.3

Simplifique ${(4)}^{2} + 5 (4)$ .

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Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.3.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$y = 16 + 5 (4)$

Etapa 1.2.3.1.2

Multiplique $5$ por $4$ .

$y = 16 + 20$

Etapa 1.2.3.2

Some $16$ e $20$ .

$y = 36$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 4$ e $y = 36$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 5 \cdot 1$

Etapa 2.2.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$2 x + 5$

Etapa 2.3

Avalie a derivada em $x = 4$ .

$2 (4) + 5$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 + 5$

Etapa 2.4.2

Some $8$ e $5$ .

$13$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $13$ e um ponto determinado $(4, 36)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (36) = 13 \cdot (x - (4))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 36 = 13 \cdot (x - 4)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $13 \cdot (x - 4)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - 36 = 0 + 0 + 13 \cdot (x - 4)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 36 = 13 \cdot (x - 4)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 36 = 13 x + 13 \cdot - 4$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $13$ por $- 4$ .

$y - 36 = 13 x - 52$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $36$ aos dois lados da equação.

$y = 13 x - 52 + 36$

Etapa 3.3.2.2

Some $- 52$ e $36$ .

$y = 13 x - 16$

Etapa 4