Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x + 1) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot 1) x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.1.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Fatore $x$ de $x^{2} + 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.2

Fatore $x$ de $2 x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x (x + 2) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.3.3

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 1)}^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 3.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 4

Avalie $\frac{x^{2}}{x + 1}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) + 1}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

Etapa 4.1.2.2

Some $0$ e $1$ .

$\frac{0}{1}$

Etapa 4.1.2.3

Divida $0$ por $1$ .

$0$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$\frac{{(- 2)}^{2}}{(- 2) + 1}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\frac{4}{- 2 + 1}$

Etapa 4.2.2.2

Some $- 2$ e $1$ .

$\frac{4}{- 1}$

Etapa 4.2.2.3

Divida $4$ por $- 1$ .

$- 4$

Etapa 4.3

Avalie em $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2}}{(- 1) + 1}$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2}}{0}$

Etapa 4.3.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (- 2, - 4)$

Etapa 5