Cálculo Exemplos

$x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2} = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 2.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 2.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 y^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.4.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 y y')$

Etapa 2.4.4

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 8 y y'$

Etapa 2.5

Reordene os termos.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 8 y y' - 18 x$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 8 y y' - 18 x = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $2 y^{2} x$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} y y' - 8 y y' - 18 x = - 2 y^{2} x$

Etapa 5.1.2

Some $18 x$ aos dois lados da equação.

$2 x^{2} y y' - 8 y y' = - 2 y^{2} x + 18 x$

Etapa 5.2

Fatore $2 y y'$ de $2 x^{2} y y' - 8 y y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $2 y y'$ de $2 x^{2} y y'$ .

$2 y y' x^{2} - 8 y y' = - 2 y^{2} x + 18 x$

Etapa 5.2.2

Fatore $2 y y'$ de $- 8 y y'$ .

$2 y y' x^{2} + 2 y y' \cdot - 4 = - 2 y^{2} x + 18 x$

Etapa 5.2.3

Fatore $2 y y'$ de $2 y y' x^{2} + 2 y y' \cdot - 4$ .

$2 y y' (x^{2} - 4) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Etapa 5.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$2 y y' (x^{2} - 2^{2}) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Etapa 5.4

Fatore.

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Etapa 5.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$2 y y' ((x + 2) (x - 2)) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Etapa 5.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$ por $2 y (x + 2) (x - 2)$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$ por $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{2 y y' (x + 2) (x - 2)}{2 y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y y' (x + 2) (x - 2)}{2 y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 5.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y' (x + 2) (x - 2)}{(y (x + 2)) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 5.5.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y' (x + 2) (x - 2)}{y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 5.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 5.5.2.3

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 5.5.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 5.5.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 5.5.2.4

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 5.5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 5.5.2.4.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 5.5.3.1.1.1

Fatore $2$ de $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 5.5.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.5.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 5.5.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 5.5.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y^{2} x}{(y (x + 2)) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 5.5.3.1.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

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Etapa 5.5.3.1.2.1

Fatore $y$ de $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{(y (x + 2)) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 5.5.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.5.3.1.2.2.1

Fatore $y$ de $(y (x + 2)) (x - 2)$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{y ((x + 2) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 5.5.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{y (- y x)}{y ((x + 2) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 5.5.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 5.5.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 5.5.3.1.4

Cancele o fator comum de $18$ e $2$ .

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Etapa 5.5.3.1.4.1

Fatore $2$ de $18 x$ .

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 5.5.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.5.3.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))}$

Etapa 5.5.3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))}$

Etapa 5.5.3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{(y (x + 2)) (x - 2)}$

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)}$