Cálculo Exemplos

$y = 3 x^{2} + 4 x$

Etapa 1

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 4 x$

Etapa 2

Encontre a derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x + 4 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$6 x + 4$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x + 4 = 0$ .

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Etapa 3.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$6 x = - 4$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $6 x = - 4$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $6 x = - 4$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{6}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $6$ .

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Etapa 3.2.3.1.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$x = \frac{2 (- 2)}{6}$

Etapa 3.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{- 2}{3}$

Etapa 3.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2}{3}$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = 3 x^{2} + 4 x$ em $x = - \frac{2}{3}$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{2}{3}$ na expressão.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 4 (- \frac{2}{3})$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) + 4 (- \frac{2}{3})$

Etapa 4.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 4 (- \frac{2}{3})$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 4 (- \frac{2}{3})$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) + 4 (- \frac{2}{3})$

Etapa 4.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3^{2}}) + 4 (- \frac{2}{3})$

Etapa 4.2.1.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{9}) + 4 (- \frac{2}{3})$

Etapa 4.2.1.6

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.1.6.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 (3)}) + 4 (- \frac{2}{3})$

Etapa 4.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 \cdot 3}) + 4 (- \frac{2}{3})$

Etapa 4.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + 4 (- \frac{2}{3})$

Etapa 4.2.1.7

Multiplique $4 (- \frac{2}{3})$ .

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Etapa 4.2.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - 4 (\frac{2}{3})$

Etapa 4.2.1.7.2

Combine $- 4$ e $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 2}{3}$

Etapa 4.2.1.7.3

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{3}$

Etapa 4.2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - \frac{8}{3}$

Etapa 4.2.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4 - 8}{3}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.2.2.2.1

Subtraia $8$ de $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 4}{3}$

Etapa 4.2.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{4}{3}$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3}$

Etapa 5

A reta tangente horizontal na função $f (x) = 3 x^{2} + 4 x$ é $y = - \frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{4}{3}$

Etapa 6