Cálculo Exemplos

$y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$

Etapa 1

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$

Etapa 2

Encontre a derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.5.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 0$

Etapa 2.5.2

Some $6 x^{2} + 6 x - 12$ e $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$ .

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Etapa 3.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1.1

Fatore $6$ de $6 x^{2} + 6 x - 12$ .

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Etapa 3.1.1.1

Fatore $6$ de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 6 x - 12 = 0$

Etapa 3.1.1.2

Fatore $6$ de $6 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 12 = 0$

Etapa 3.1.1.3

Fatore $6$ de $- 12$ .

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 2 = 0$

Etapa 3.1.1.4

Fatore $6$ de $6 (x^{2}) + 6 x$ .

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2 = 0$

Etapa 3.1.1.5

Fatore $6$ de $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2$ .

$6 (x^{2} + x - 2) = 0$

Etapa 3.1.2

Fatore.

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Etapa 3.1.2.1

Fatore $x^{2} + x - 2$ usando o método AC.

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Etapa 3.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $1$ .

$- 1, 2$

Etapa 3.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$6 ((x - 1) (x + 2)) = 0$

Etapa 3.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 (x - 1) (x + 2) = 0$

Etapa 3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 3.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 3.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 3.4

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 3.4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 3.5

A solução final são todos os valores que tornam $6 (x - 1) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - 2$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ em $x = 1$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 2 {(1)}^{3} + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 1$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 2 \cdot 1 + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 1$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (1) = 2 + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 1$

Etapa 4.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 2 + 3 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 1$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (1) = 2 + 3 - 12 \cdot 1 + 1$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$f (1) = 2 + 3 - 12 + 1$

Etapa 4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.2.1

Some $2$ e $3$ .

$f (1) = 5 - 12 + 1$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $12$ de $5$ .

$f (1) = - 7 + 1$

Etapa 4.2.2.3

Some $- 7$ e $1$ .

$f (1) = - 6$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- 6$ .

$- 6$

Etapa 5

Resolva a função original $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ em $x = - 2$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 1$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f (- 2) = 2 \cdot - 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 1$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$f (- 2) = - 16 + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 1$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = - 16 + 3 \cdot 4 - 12 \cdot - 2 + 1$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $3$ por $4$ .

$f (- 2) = - 16 + 12 - 12 \cdot - 2 + 1$

Etapa 5.2.1.5

Multiplique $- 12$ por $- 2$ .

$f (- 2) = - 16 + 12 + 24 + 1$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 5.2.2.1

Some $- 16$ e $12$ .

$f (- 2) = - 4 + 24 + 1$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 4$ e $24$ .

$f (- 2) = 20 + 1$

Etapa 5.2.2.3

Some $20$ e $1$ .

$f (- 2) = 21$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $21$ .

$21$

Etapa 6

As retas tangentes horizontais na função $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ são $y = - 6, y = 21$ .

$y = - 6, y = 21$

Etapa 7