Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{4} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{4} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Etapa 1.1.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = \frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Etapa 1.1.2.4

Combine $\frac{4}{4}$ e $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Etapa 1.1.2.5

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Etapa 1.1.2.5.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = x^{3} - 2 (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = x^{3} - 4 x$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{3} - 4 x$ .

$x^{3} - 4 x$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{3} - 4 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{3} - 4 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $x$ de $x^{3} - 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $x$ de $- 4 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$x (x^{2} - 4) = 0$

Etapa 2.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 2.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.6

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.6.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2, 2$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, - 2, 2$ .

$0, - 2, 2$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f' (- 3) = {(- 3)}^{3} - 4 \cdot - 3$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f' (- 3) = - 27 - 4 \cdot - 3$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$f' (- 3) = - 27 + 12$

Etapa 5.2.2

Some $- 27$ e $12$ .

$f' (- 3) = - 15$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 15$ .

$- 15$

Etapa 5.3

Em $x = - 3$ , a derivada é $- 15$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 2)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 2)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 2, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{3} - 4 \cdot - 1$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f' (- 1) = - 1 - 4 \cdot - 1$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 1 + 4$

Etapa 6.2.2

Some $- 1$ e $4$ .

$f' (- 1) = 3$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $3$ .

$3$

Etapa 6.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $3$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 2, 0)$ .

Acréscimo em $(- 2, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = {(1)}^{3} - 4 \cdot 1$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 1 - 4 \cdot 1$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f' (1) = 1 - 4$

Etapa 7.2.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$f' (1) = - 3$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 7.3

Em $x = 1$ , a derivada é $- 3$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 2)$ .

Decréscimo em $(0, 2)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(2, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = {(3)}^{3} - 4 \cdot 3$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f' (3) = 27 - 4 \cdot 3$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$f' (3) = 27 - 12$

Etapa 8.2.2

Subtraia $12$ de $27$ .

$f' (3) = 15$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $15$ .

$15$

Etapa 8.3

Em $x = 3$ , a derivada é $15$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(2, \infty)$ .

Acréscimo em $(2, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- 2, 0), (2, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, - 2), (0, 2)$

Etapa 10