Cálculo Exemplos

$y = - x^{3} + x^{2} + 8 x + 1$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{3} + x^{2} + 8 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Etapa 1.1.4.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.5.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 + 0$

Etapa 1.1.5.2

Some $- 3 x^{2} + 2 x + 8$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x^{2} + 2 x + 8$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 8$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x^{2} + 2 x + 8 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 8 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2} + 2 x + 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 2 x + 8 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $- 1$ de $2 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 8 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Reescreva $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 8 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 8 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 8)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 8) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ e cuja soma é $b = - 2$ .

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Etapa 2.2.2.1.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 x$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 8) = 0$

Etapa 2.2.2.1.1.2

Reescreva $- 2$ como $4$ mais $- 6$

$- (3 x^{2} + (4 - 6) x - 8) = 0$

Etapa 2.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- (3 x^{2} + 4 x - 6 x - 8) = 0$

Etapa 2.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- ((3 x^{2} + 4 x) - 6 x - 8) = 0$

Etapa 2.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- (x (3 x + 4) - 2 (3 x + 4)) = 0$

Etapa 2.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x + 4$ .

$- ((3 x + 4) (x - 2)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (3 x + 4) (x - 2) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 2.4

Defina $3 x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $3 x + 4$ como igual a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $3 x + 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 4$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 4$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Etapa 2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{4}{3}$

Etapa 2.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- (3 x + 4) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{4}{3}, 2$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $- x^{3} + x^{2} + 8 x + 1$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = - \frac{4}{3}$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $- \frac{4}{3}$ por $x$ .

$- {(- \frac{4}{3})}^{3} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.1.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{4}{3}$ .

$- ({(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3}) + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{3}$ .

$- ({(- 1)}^{3} \frac{4^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.2.1

Mova ${(- 1)}^{3}$ .

${(- 1)}^{3} \cdot - 1 \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{3}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

${(- 1)}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(- 1)}^{3 + 1} \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.2.3

Some $3$ e $1$ .

${(- 1)}^{4} \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$1 \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $\frac{4^{3}}{3^{3}}$ por $1$ .

$\frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.5

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$\frac{64}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.6

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{64}{27} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.1.2.1.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{4}{3}$ .

$\frac{64}{27} + {(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{3}$ .

$\frac{64}{27} + {(- 1)}^{2} \frac{4^{2}}{3^{2}} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{64}{27} + 1 \frac{4^{2}}{3^{2}} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.9

Multiplique $\frac{4^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$\frac{64}{27} + \frac{4^{2}}{3^{2}} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.10

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16}{3^{2}} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.11

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.12

Multiplique $8 (- \frac{4}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.12.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} - 8 (\frac{4}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.12.2

Combine $- 8$ e $\frac{4}{3}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} + \frac{- 8 \cdot 4}{3} + 1$

Etapa 4.1.2.1.12.3

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} + \frac{- 32}{3} + 1$

Etapa 4.1.2.1.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} - \frac{32}{3} + 1$

Etapa 4.1.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $\frac{16}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3} + 1$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $\frac{16}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32}{3} + 1$

Etapa 4.1.2.2.3

Multiplique $\frac{32}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - (\frac{32}{3} \cdot \frac{9}{9}) + 1$

Etapa 4.1.2.2.4

Multiplique $\frac{32}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 1$

Etapa 4.1.2.2.5

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{1}$

Etapa 4.1.2.2.6

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Etapa 4.1.2.2.7

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

Etapa 4.1.2.2.8

Reordene os fatores de $9 \cdot 3$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 9} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

Etapa 4.1.2.2.9

Multiplique $3$ por $9$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{27} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

Etapa 4.1.2.2.10

Multiplique $3$ por $9$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{27} - \frac{32 \cdot 9}{27} + \frac{27}{27}$

Etapa 4.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{64 + 16 \cdot 3 - 32 \cdot 9 + 27}{27}$

Etapa 4.1.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.4.1

Multiplique $16$ por $3$ .

$\frac{64 + 48 - 32 \cdot 9 + 27}{27}$

Etapa 4.1.2.4.2

Multiplique $- 32$ por $9$ .

$\frac{64 + 48 - 288 + 27}{27}$

Etapa 4.1.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.1

Some $64$ e $48$ .

$\frac{112 - 288 + 27}{27}$

Etapa 4.1.2.5.2

Subtraia $288$ de $112$ .

$\frac{- 176 + 27}{27}$

Etapa 4.1.2.5.3

Some $- 176$ e $27$ .

$\frac{- 149}{27}$

Etapa 4.1.2.5.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{149}{27}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $2$ por $x$ .

$- {(2)}^{3} + {(2)}^{2} + 8 (2) + 1$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- 1 \cdot 8 + {(2)}^{2} + 8 (2) + 1$

Etapa 4.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8 + {(2)}^{2} + 8 (2) + 1$

Etapa 4.2.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 8 + 4 + 8 (2) + 1$

Etapa 4.2.2.1.4

Multiplique $8$ por $2$ .

$- 8 + 4 + 16 + 1$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Some $- 8$ e $4$ .

$- 4 + 16 + 1$

Etapa 4.2.2.2.2

Some $- 4$ e $16$ .

$12 + 1$

Etapa 4.2.2.2.3

Some $12$ e $1$ .

$13$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(- \frac{4}{3}, - \frac{149}{27}), (2, 13)$

Etapa 5