Cálculo Exemplos

$- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$

Etapa 1

Escreva $- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ como uma função.

$f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{6}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$- (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- 6 x^{5} + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [42 x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $42$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $42 x^{5}$ em relação a $x$ é $42 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 6 x^{5} + 42 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- 6 x^{5} + 42 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $5$ por $42$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Etapa 2.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 42 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Como $- 42$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 42 x$ em relação a $x$ é $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [19]$

Etapa 2.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [19]$

Etapa 2.1.4.3

Multiplique $- 42$ por $1$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 + \frac{d}{d x} [19]$

Etapa 2.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.5.1

Como $19$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $19$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 + 0$

Etapa 2.1.5.2

Some $- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$ e $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ .

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Etapa 2.2.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{5}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $5$ por $- 6$ .

$- 30 x^{4} + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [210 x^{4}]$ .

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Etapa 2.2.3.1

Como $210$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $210 x^{4}$ em relação a $x$ é $210 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 30 x^{4} + 210 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 30 x^{4} + 210 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $4$ por $210$ .

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Como $- 42$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 42$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} + 0$

Etapa 2.2.4.2

Some $- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 840 x^{3}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ .

$- 30 x^{4} + 840 x^{3}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 30 x^{4} + 840 x^{3} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} = 0$

Etapa 3.2

Fatore $- 30 x^{3}$ de $- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $- 30 x^{3}$ de $- 30 x^{4}$ .

$- 30 x^{3} x + 840 x^{3} = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore $- 30 x^{3}$ de $840 x^{3}$ .

$- 30 x^{3} x - 30 x^{3} \cdot - 28 = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore $- 30 x^{3}$ de $- 30 x^{3} (x) - 30 x^{3} (- 28)$ .

$- 30 x^{3} (x - 28) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 28 = 0$

Etapa 3.4

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $x^{3} = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 3.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 3.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 3.5

Defina $x - 28$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $x - 28$ como igual a $0$ .

$x - 28 = 0$

Etapa 3.5.2

Some $28$ aos dois lados da equação.

$x = 28$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $- 30 x^{3} (x - 28) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 28$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 4.1

Substitua $0$ em $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - {(0)}^{6} + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = - 0 + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

Etapa 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 42 \cdot 0 - 42 \cdot 0 + 19$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $42$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 42 \cdot 0 + 19$

Etapa 4.1.2.1.5

Multiplique $- 42$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 19$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 4.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 19$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 19$

Etapa 4.1.2.2.3

Some $0$ e $19$ .

$f (0) = 19$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $19$ .

$19$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ é $(0, 19)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 19)$

Etapa 4.3

Substitua $28$ em $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $28$ na expressão.

$f (28) = - {(28)}^{6} + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.2.1.1

Eleve $28$ à potência de $6$ .

$f (28) = - 1 \cdot 481890304 + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

Etapa 4.3.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $481890304$ .

$f (28) = - 481890304 + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

Etapa 4.3.2.1.3

Eleve $28$ à potência de $5$ .

$f (28) = - 481890304 + 42 \cdot 17210368 - 42 \cdot 28 + 19$

Etapa 4.3.2.1.4

Multiplique $42$ por $17210368$ .

$f (28) = - 481890304 + 722835456 - 42 \cdot 28 + 19$

Etapa 4.3.2.1.5

Multiplique $- 42$ por $28$ .

$f (28) = - 481890304 + 722835456 - 1176 + 19$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.3.2.2.1

Some $- 481890304$ e $722835456$ .

$f (28) = 240945152 - 1176 + 19$

Etapa 4.3.2.2.2

Subtraia $1176$ de $240945152$ .

$f (28) = 240943976 + 19$

Etapa 4.3.2.2.3

Some $240943976$ e $19$ .

$f (28) = 240943995$

Etapa 4.3.2.3

A resposta final é $240943995$ .

$240943995$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $28$ em $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ é $(28, 240943995)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(28, 240943995)$

Etapa 4.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 19), (28, 240943995)$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 0) \cup (0, 28) \cup (28, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.1$ na expressão.

$f'' (- 0.1) = - 30 {(- 0.1)}^{4} + 840 {(- 0.1)}^{3}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 0.1$ à potência de $4$ .

$f'' (- 0.1) = - 30 \cdot 0.0001 + 840 {(- 0.1)}^{3}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 30$ por $0.0001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 840 {(- 0.1)}^{3}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 0.1$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 840 \cdot - 0.001$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $840$ por $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 - 0.84$

Etapa 6.2.2

Subtraia $0.84$ de $- 0.003$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.843$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 0.843$ .

$- 0.843$

Etapa 6.3

Em $- 0.1$ , a segunda derivada é $- 0.843$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, 28)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $14$ na expressão.

$f'' (14) = - 30 {(14)}^{4} + 840 {(14)}^{3}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $14$ à potência de $4$ .

$f'' (14) = - 30 \cdot 38416 + 840 {(14)}^{3}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 30$ por $38416$ .

$f'' (14) = - 1152480 + 840 {(14)}^{3}$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $14$ à potência de $3$ .

$f'' (14) = - 1152480 + 840 \cdot 2744$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $840$ por $2744$ .

$f'' (14) = - 1152480 + 2304960$

Etapa 7.2.2

Some $- 1152480$ e $2304960$ .

$f'' (14) = 1152480$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $1152480$ .

$1152480$

Etapa 7.3

Em $14$ , a segunda derivada é $1152480$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0, 28)$ .

Acréscimo em $(0, 28)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(28, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $28.1$ na expressão.

$f'' (28.1) = - 30 {(28.1)}^{4} + 840 {(28.1)}^{3}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Eleve $28.1$ à potência de $4$ .

$f'' (28.1) = - 30 \cdot 623483.9521 + 840 {(28.1)}^{3}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $- 30$ por $623483.9521$ .

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 840 {(28.1)}^{3}$

Etapa 8.2.1.3

Eleve $28.1$ à potência de $3$ .

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 840 \cdot 22188.041$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $840$ por $22188.041$ .

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 18637954.44$

Etapa 8.2.2

Some $- 18704518.563$ e $18637954.44$ .

$f'' (28.1) = - 66564.123$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $- 66564.123$ .

$- 66564.123$

Etapa 8.3

Em $28.1$ , a segunda derivada é $- 66564.123$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(28, \infty)$ .

Decréscimo em $(28, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 9

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(0, 19), (28, 240943995)$ .

$(0, 19), (28, 240943995)$

Etapa 10