Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2} + 7}$ como ${(x^{2} + 7)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{- 1}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 7$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 1.1.3.3

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x + 0)$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x)$

Etapa 1.1.3.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + 7)}^{- 2} x$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

Etapa 1.1.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

Etapa 1.1.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

Etapa 1.1.4.2.3

Combine $x$ e $\frac{2}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 7)}^{2}$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{({(x^{2} + 7)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 7)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique ${(x^{2} + 7)}^{2}$ por $1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 7$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Etapa 1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Etapa 1.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 7$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (2 (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Etapa 1.2.5

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.2

Fatore $x^{2} + 7$ de ${(x^{2} + 7)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Fatore $x^{2} + 7$ de ${(x^{2} + 7)}^{2}$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.2.2

Fatore $x^{2} + 7$ de $- 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) + (x^{2} + 7) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.2.3

Fatore $x^{2} + 7$ de $(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) + (x^{2} + 7) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Etapa 1.2.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Fatore $x^{2} + 7$ de ${(x^{2} + 7)}^{4}$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{(x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.6.2

Cancele o fator comum.

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{(x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.6.3

Reescreva a expressão.

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.9

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.10

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.10.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.14

Some $1$ e $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.15

Subtraia $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 2 \frac{- 3 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.16

Combine $- 2$ e $\frac{- 3 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ .

$\frac{- 2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.18

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.18.2.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$- \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.2.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$- \frac{- 6 x^{2} + 14}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.3

Fatore $2$ de $- 6 x^{2} + 14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.18.3.1

Fatore $2$ de $- 6 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 14}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.3.2

Fatore $2$ de $14$ .

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.3.3

Fatore $2$ de $2 (- 3 x^{2}) + 2 (7)$ .

$- \frac{2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.4

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5

Reescreva $7$ como $- 1 (- 7)$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 (- 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.6

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (- 7)$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2} - 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.7

Reescreva $- (3 x^{2} - 7)$ como $- 1 (3 x^{2} - 7)$ .

$- \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.10

Multiplique $\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 (3 x^{2} - 7) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $2 (3 x^{2} - 7) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Divida cada termo em $2 (3 x^{2} - 7) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.1.2.1.2

Divida $3 x^{2} - 7$ por $1$ .

$3 x^{2} - 7 = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$3 x^{2} - 7 = 0$

Etapa 2.3.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$3 x^{2} = 7$

Etapa 2.3.3

Divida cada termo em $3 x^{2} = 7$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = 7$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

Etapa 2.3.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{7}{3}$

Etapa 2.3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{3}}$

Etapa 2.3.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{7}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Reescreva $\sqrt{\frac{7}{3}}$ como $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.3.5.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 2.3.5.3.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 2.3.5.3.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 2.3.5.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.3.5.3.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 2.3.5.3.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3.5.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.5.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.3.5.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.3.5.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 2.3.5.3.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.3.5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm \frac{\sqrt{7 \cdot 3}}{3}$

Etapa 2.3.5.4.2

Multiplique $7$ por $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{21}}{3}$

Etapa 2.3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}$

Etapa 2.3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{21}}{3}$

Etapa 2.3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}, - \frac{\sqrt{21}}{3}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $\frac{\sqrt{21}}{3}$ em $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt{21}}{3}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Etapa 3.1.2.1.2

Reescreva ${\sqrt{21}}^{2}$ como $21$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{21}$ como $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Etapa 3.1.2.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7}$

Etapa 3.1.2.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Etapa 3.1.2.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Etapa 3.1.2.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Etapa 3.1.2.1.2.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Etapa 3.1.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{9} + 7}$

Etapa 3.1.2.1.4

Cancele o fator comum de $21$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.4.1

Fatore $3$ de $21$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 (7)}{9} + 7}$

Etapa 3.1.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.4.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Etapa 3.1.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Etapa 3.1.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7}$

Etapa 3.1.2.1.5

Para escrever $7$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 3.1.2.1.6

Combine $7$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.1.2.1.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 7 \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.1.2.1.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.8.1

Multiplique $7$ por $3$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 21}{3}}$

Etapa 3.1.2.1.8.2

Some $7$ e $21$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{28}{3}}$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = 1 (\frac{3}{28})$

Etapa 3.1.2.3

Multiplique $\frac{3}{28}$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{3}{28}$

Etapa 3.1.2.4

A resposta final é $\frac{3}{28}$ .

$\frac{3}{28}$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $\frac{\sqrt{21}}{3}$ em $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ é $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Etapa 3.3

Substitua $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ em $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ na expressão.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}) + 7}$

Etapa 3.3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{1 (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}) + 7}$

Etapa 3.3.2.1.3

Multiplique $\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Etapa 3.3.2.1.4

Reescreva ${\sqrt{21}}^{2}$ como $21$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{21}$ como $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Etapa 3.3.2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7}$

Etapa 3.3.2.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Etapa 3.3.2.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Etapa 3.3.2.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Etapa 3.3.2.1.4.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Etapa 3.3.2.1.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{9} + 7}$

Etapa 3.3.2.1.6

Cancele o fator comum de $21$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.6.1

Fatore $3$ de $21$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 (7)}{9} + 7}$

Etapa 3.3.2.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.6.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Etapa 3.3.2.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Etapa 3.3.2.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7}$

Etapa 3.3.2.1.7

Para escrever $7$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 3.3.2.1.8

Combine $7$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.3.2.1.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 7 \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.3.2.1.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.10.1

Multiplique $7$ por $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 21}{3}}$

Etapa 3.3.2.1.10.2

Some $7$ e $21$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{28}{3}}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = 1 (\frac{3}{28})$

Etapa 3.3.2.3

Multiplique $\frac{3}{28}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{3}{28}$

Etapa 3.3.2.4

A resposta final é $\frac{3}{28}$ .

$\frac{3}{28}$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ em $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ é $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.62752523$ na expressão.

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (3 {(- 1.62752523)}^{2} - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 1.62752523$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (3 \cdot 2.64883837 - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $3$ por $2.64883837$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (7.94651513 - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.3

Subtraia $7$ de $7.94651513$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Eleve $- 1.62752523$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{(2.64883837 + 7)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $2.64883837$ e $7$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{9.64883837}^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $9.64883837$ à potência de $3$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{898.30764509}$

Etapa 5.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique $2$ por $0.94651513$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{1.89303027}{898.30764509}$

Etapa 5.2.3.2

Divida $1.89303027$ por $898.30764509$ .

$f'' (- 1.62752523) = 0.00210732$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $0.00210732$ .

$0.00210732$

Etapa 5.3

Em $- 1.62752523$ , a segunda derivada é $0.00210732$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ .

Acréscimo em $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} - 7)}{{({(0)}^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 - 7)}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 - 7)}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.3

Subtraia $7$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{{(0 + 7)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $0$ e $7$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{7^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{343}$

Etapa 6.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Multiplique $2$ por $- 7$ .

$f'' (0) = \frac{- 14}{343}$

Etapa 6.2.3.2

Cancele o fator comum de $- 14$ e $343$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.1

Fatore $7$ de $- 14$ .

$f'' (0) = \frac{7 (- 2)}{343}$

Etapa 6.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.2.1

Fatore $7$ de $343$ .

$f'' (0) = \frac{7 \cdot - 2}{7 \cdot 49}$

Etapa 6.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = \frac{7 \cdot - 2}{7 \cdot 49}$

Etapa 6.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = \frac{- 2}{49}$

Etapa 6.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (0) = - \frac{2}{49}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- \frac{2}{49}$ .

$- \frac{2}{49}$

Etapa 6.3

Em $0$ , a segunda derivada é $- 0.04081632$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ .

Decréscimo em $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1.62752523$ na expressão.

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (3 {(1.62752523)}^{2} - 7)}{{({(1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $1.62752523$ à potência de $2$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (3 \cdot 2.64883837 - 7)}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $3$ por $2.64883837$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (7.94651513 - 7)}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.3

Subtraia $7$ de $7.94651513$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Eleve $1.62752523$ à potência de $2$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{(2.64883837 + 7)}^{3}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $2.64883837$ e $7$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{9.64883837}^{3}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $9.64883837$ à potência de $3$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{898.30764509}$

Etapa 7.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Multiplique $2$ por $0.94651513$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{1.89303027}{898.30764509}$

Etapa 7.2.3.2

Divida $1.89303027$ por $898.30764509$ .

$f'' (1.62752523) = 0.00210732$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $0.00210732$ .

$0.00210732$

Etapa 7.3

Em $1.62752523$ , a segunda derivada é $0.00210732$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ .

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Etapa 9