Cálculo Exemplos

$y = x - \sin (x)$

Etapa 1

Escreva $y = x - \sin (x)$ como uma função.

$f (x) = x - \sin (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.1.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f' (x) = 1 - \cos (x)$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.2.1

Diferencie.

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Etapa 2.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Etapa 2.2.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Etapa 2.2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.2.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Etapa 2.2.2.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$0 + \sin (x)$

Etapa 2.2.3

Some $0$ e $\sin (x)$ .

$f'' (x) = \sin (x)$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\sin (x) = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 3.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.4

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 3.5

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 3.6

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 3.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.8

Consolide as respostas.

$x = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

O ponto encontrado ao substituir em $f (x) = x - \sin (x)$ é $(,)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(,)$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty,)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.1$ na expressão.

$f'' (- 0.1) = \sin (- 0.1)$

Etapa 6.2

A resposta final é $\sin (- 0.1)$ .

$\sin (- 0.1)$

Etapa 6.3

Em $- 0.1$ , a segunda derivada é $- 0.09983341$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty,)$ .

Decréscimo em $(- \infty,)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.1$ na expressão.

$f'' (0.1) = \sin (0.1)$

Etapa 7.2

A resposta final é $\sin (0.1)$ .

$\sin (0.1)$

Etapa 7.3

Em $0.1$ , a segunda derivada é $0.09983341$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(, \infty)$ .

Acréscimo em $(, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(,)$ .

$(,)$

Etapa 9