Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x + 4$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4) + (x + 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)) + (x + 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} (4)) + (x + 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 1.1.1.2.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 1.1.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 1.1.1.2.4.2

Multiplique $x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 1.1.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 1.1.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 1.1.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.1.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 1.1.1.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 1.1.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.1.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Etapa 1.1.1.9

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.1.10

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + x (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) + 4 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.1.10.2

Combine os termos.

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Etapa 1.1.1.10.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.1.10.2.2

Mova $x^{\frac{2}{3}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.1.10.2.3

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.1.10.2.3.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ .

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Etapa 1.1.1.10.2.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.1.10.2.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} + 4 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.1.10.2.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + 4 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.1.10.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} + 4 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.1.10.2.3.4

Subtraia $2$ de $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + 4 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.1.10.2.4

Combine $4$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.1.10.2.5

Para escrever $x^{\frac{1}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.1.10.2.6

Combine $x^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.1.10.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.1.10.2.8

Mova $3$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.1.10.2.9

Some $3 x^{\frac{1}{3}}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Como $\frac{4}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.2.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.2.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.2.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.2.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.2.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.2.2.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.2.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.2.2.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.2.2.9

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.2.2.10

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.2.2.11

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Como $\frac{4}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ em relação a $x$ é $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

Etapa 1.1.2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Etapa 1.1.2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

Etapa 1.1.2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Etapa 1.1.2.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Etapa 1.1.2.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Etapa 1.1.2.3.5.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Etapa 1.1.2.3.5.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Etapa 1.1.2.3.5.2.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Etapa 1.1.2.3.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Etapa 1.1.2.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Etapa 1.1.2.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Etapa 1.1.2.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Etapa 1.1.2.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.2.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Etapa 1.1.2.3.9.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Etapa 1.1.2.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Etapa 1.1.2.3.11

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Etapa 1.1.2.3.12

Combine $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Etapa 1.1.2.3.13

Multiplique $x^{- \frac{1}{3}}$ por $x^{- \frac{4}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.2.3.13.1

Mova $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Etapa 1.1.2.3.13.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Etapa 1.1.2.3.13.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Etapa 1.1.2.3.13.4

Subtraia $1$ de $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Etapa 1.1.2.3.13.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Etapa 1.1.2.3.14

Mova $x^{- \frac{5}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Etapa 1.1.2.3.15

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Etapa 1.1.2.3.16

Multiplique $4$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Etapa 1.1.2.3.17

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 1.2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$

Etapa 1.2.2.2

Since $9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $9, 9, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{5}{3}}$ .

Etapa 1.2.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 1.2.2.4

$9$ tem fatores de $3$ e $3$ .

$3 \cdot 3$

Etapa 1.2.2.5

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.2.2.6

O MMC de $9, 9, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$3 \cdot 3$

Etapa 1.2.2.7

Multiplique $3$ por $3$ .

$9$

Etapa 1.2.2.8

O MMC de $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{5}{3}}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x^{\frac{5}{3}}$

Etapa 1.2.2.9

O MMC de $9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$ é a parte numérica $9$ multiplicada pela parte variável.

$9 x^{\frac{5}{3}}$

Etapa 1.2.3

Multiplique cada termo em $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ por $9 x^{\frac{5}{3}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ por $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$9 \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$9 \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 1.2.3.2.1.3

Cancele o fator comum de $x^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.3.1

Fatore $x^{\frac{2}{3}}$ de $x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 1.2.3.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 1.2.3.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$4 x^{\frac{3}{3}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 1.2.3.2.1.4

Divida $3$ por $3$ .

$4 x^{1} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 1.2.3.2.1.5

Simplifique.

$4 x - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 1.2.3.2.1.6

Cancele o fator comum de $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.6.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ para o numerador.

$4 x + \frac{- 8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 1.2.3.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$4 x + \frac{- 8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 1.2.3.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$4 x - 8 = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Multiplique $0 (9 x^{\frac{5}{3}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1.1

Multiplique $9$ por $0$ .

$4 x - 8 = 0 x^{\frac{5}{3}}$

Etapa 1.2.3.3.1.2

Multiplique $0$ por $x^{\frac{5}{3}}$ .

$4 x - 8 = 0$

Etapa 1.2.4

Resolva a equação.

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Etapa 1.2.4.1

Some $8$ aos dois lados da equação.

$4 x = 8$

Etapa 1.2.4.2

Divida cada termo em $4 x = 8$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 1.2.4.2.1

Divida cada termo em $4 x = 8$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{8}{4}$

Etapa 1.2.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{8}{4}$

Etapa 1.2.4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{8}{4}$

Etapa 1.2.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.3.1

Divida $8$ por $4$ .

$x = 2$

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$ .

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Etapa 2.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\sqrt[3]{x^{1}} (x + 4)$

Etapa 2.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\sqrt[3]{x} (x + 4)$

Etapa 2.2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{4}{9 {(0)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 4.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$f'' (0) = \frac{4}{9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = \frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = \frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 4.3.2

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = \frac{4}{9 \cdot 0^{2}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.4.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = \frac{4}{9 \cdot 0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 4.4.2

Multiplique $9$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{4}{0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 4.4.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

$f'' (0) = Undefined$

$f'' (0) = \frac{4}{0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 4.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

$f'' (0) = Undefined$

Etapa 4.6

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, 2)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, 2)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(2, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = \frac{4}{9 {(4)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Mova ${(4)}^{\frac{2}{3}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f'' (4) = \frac{4 \cdot 4^{- \frac{2}{3}}}{9} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $4$ por $4^{- \frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.1.2.1

Multiplique $4$ por $4^{- \frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $1$ .

$f'' (4) = \frac{4 \cdot 4^{- \frac{2}{3}}}{9} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 5.2.1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (4) = \frac{4^{1 - \frac{2}{3}}}{9} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 5.2.1.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f'' (4) = \frac{4^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{9} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 5.2.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (4) = \frac{4^{\frac{3 - 2}{3}}}{9} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 5.2.1.2.4

Subtraia $2$ de $3$ .

$f'' (4) = \frac{4^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

$f'' (4) = \frac{4^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{8}{9 \cdot 4^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 5.2.2

A resposta final é $\frac{4^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{8}{9 \cdot 4^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{4^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{8}{9 \cdot 4^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(2, \infty)$ porque $f'' (4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, 2)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para cima em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7