Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 3$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 3) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.5

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.6.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.6.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.6.3.1.1.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.6.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.6.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.6.3.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.6.3.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.6.3.1.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.6.3.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.6.3.2.1

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 0}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.6.3.2.2

Some $6 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.2

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}})$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique ${(x^{2} + 3)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 3$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 3$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.5.2

Fatore $x^{2} + 3$ de ${(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.2.1

Fatore $x^{2} + 3$ de ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.5.2.2

Fatore $x^{2} + 3$ de $- 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.5.2.3

Fatore $x^{2} + 3$ de $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Etapa 1.1.2.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Fatore $x^{2} + 3$ de ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.6.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.6.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.9

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.10

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.10.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.14

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.15

Subtraia $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.16

Combine $6$ e $\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (- 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.17

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.17.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.17.2.1

Multiplique $- 3$ por $6$ .

$f'' (x) = \frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.17.2.2

Multiplique $6$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$- 18 x^{2} + 18 = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Subtraia $18$ dos dois lados da equação.

$- 18 x^{2} = - 18$

Etapa 1.2.3.2

Divida cada termo em $- 18 x^{2} = - 18$ por $- 18$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Divida cada termo em $- 18 x^{2} = - 18$ por $- 18$ .

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{- 18}{- 18}$

Etapa 1.2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 18$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{- 18}{- 18}$

Etapa 1.2.3.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 18}{- 18}$

Etapa 1.2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.3.1

Divida $- 18$ por $- 18$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 1.2.3.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 1.2.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 1.2.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 1.2.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ .

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Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} + 3 = 0$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 3$

Etapa 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Etapa 2.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Etapa 2.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Etapa 2.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Etapa 2.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{3}$

Etapa 2.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{3}$

Etapa 2.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Etapa 2.3

O domínio consiste em números reais apenas.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = \frac{- 18 {(- 4)}^{2} + 18}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 18 \cdot 16 + 18}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $- 18$ por $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 288 + 18}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.3

Some $- 288$ e $18$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 270}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 270}{{(16 + 3)}^{3}}$

Etapa 4.2.2.2

Some $16$ e $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 270}{19^{3}}$

Etapa 4.2.2.3

Eleve $19$ à potência de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 270}{6859}$

Etapa 4.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 4) = - \frac{270}{6859}$

Etapa 4.2.4

A resposta final é $- \frac{270}{6859}$ .

$- \frac{270}{6859}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - 1)$ porque $f'' (- 4)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 1, 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{- 18 {(0)}^{2} + 18}{{({(0)}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 18 \cdot 0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 18$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.3

Some $0$ e $18$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0 + 3)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $0$ e $3$ .

$f'' (0) = \frac{18}{3^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = \frac{18}{27}$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $18$ e $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Fatore $9$ de $18$ .

$f'' (0) = \frac{9 (2)}{27}$

Etapa 5.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Fatore $9$ de $27$ .

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Etapa 5.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Etapa 5.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = \frac{2}{3}$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 1, 1)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 1, 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(1, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = \frac{- 18 {(4)}^{2} + 18}{{({(4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f'' (4) = \frac{- 18 \cdot 16 + 18}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 18$ por $16$ .

$f'' (4) = \frac{- 288 + 18}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.3

Some $- 288$ e $18$ .

$f'' (4) = \frac{- 270}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f'' (4) = \frac{- 270}{{(16 + 3)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $16$ e $3$ .

$f'' (4) = \frac{- 270}{19^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $19$ à potência de $3$ .

$f'' (4) = \frac{- 270}{6859}$

Etapa 6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (4) = - \frac{270}{6859}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- \frac{270}{6859}$ .

$- \frac{270}{6859}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(1, \infty)$ porque $f'' (4)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- 1, 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8