Cálculo Exemplos

$y = \frac{3 x - 9}{2 x + 8}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x - 9}{2 x + 8})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3 x - 9$ e $g (x) = 2 x + 8$ .

$\frac{(2 x + 8) \frac{d}{d x} [3 x - 9] - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(2 x + 8) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.5

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 + 0) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.6.1

Some $3$ e $0$ .

$\frac{(2 x + 8) \cdot 3 - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.6.2

Mova $3$ para a esquerda de $2 x + 8$ .

$\frac{3 \cdot (2 x + 8) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.11

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 + 0)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.12.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) \cdot 2}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.12.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - 2 (3 x - 9)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x - 9)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.3.1

Combine os termos opostos em $3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 9$ .

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Etapa 3.3.3.1.1

Reorganize os fatores nos termos $3 (2 x)$ e $- 2 (3 x)$ .

$\frac{2 \cdot 3 x + 3 \cdot 8 - 2 \cdot 3 x - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2

Subtraia $2 \cdot 3 x$ de $2 \cdot 3 x$ .

$\frac{3 \cdot 8 + 0 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.3

Some $3 \cdot 8$ e $0$ .

$\frac{3 \cdot 8 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Multiplique $3$ por $8$ .

$\frac{24 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 9$ .

$\frac{24 + 18}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.3

Some $24$ e $18$ .

$\frac{42}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.3.4.1

Fatore $2$ de $2 x + 8$ .

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Etapa 3.3.4.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{42}{{(2 (x) + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.2

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{42}{{(2 x + 2 \cdot 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 \cdot 4$ .

$\frac{42}{{(2 (x + 4))}^{2}}$

Etapa 3.3.4.2

Aplique a regra do produto a $2 (x + 4)$ .

$\frac{42}{2^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{42}{4 {(x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.5

Cancele o fator comum de $42$ e $4$ .

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Etapa 3.3.5.1

Fatore $2$ de $42$ .

$\frac{2 (21)}{4 {(x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.5.2.1

Fatore $2$ de $4 {(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{2 (21)}{2 (2 {(x + 4)}^{2})}$

Etapa 3.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 21}{2 (2 {(x + 4)}^{2})}$

Etapa 3.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{21}{2 {(x + 4)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{21}{2 {(x + 4)}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{2 {(x + 4)}^{2}}$