Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{e} x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine $x^{3}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{x} d x)$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Etapa 4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Etapa 4.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{1} d x)$

Etapa 4.2.2.5

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ em $e$ e em $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e}$

Etapa 6.2

Avalie $\frac{1}{3} x^{3}$ em $e$ e em $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3.2

Multiplique $\ln (1)$ por $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Etapa 6.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$

Etapa 6.3.6

Para escrever $- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Etapa 6.3.7

Combine $- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Etapa 6.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (e) e^{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Etapa 6.3.9

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} - 3 (\frac{1}{3}) (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Etapa 6.3.10

Combine $- 3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{- 3}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Etapa 6.3.11

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

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Etapa 6.3.11.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Etapa 6.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.11.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Etapa 6.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Etapa 6.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{- 1}{1} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Etapa 6.3.11.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (e) e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

Etapa 7.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\frac{1 e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

Etapa 7.2.2

Multiplique $e^{3}$ por $1$ .

$\frac{e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

Etapa 7.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} - - \frac{1}{3} - \ln (1)}{3}$

Etapa 7.2.4

Multiplique $- - \frac{1}{3}$ .

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Etapa 7.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + 1 (\frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

Etapa 7.2.4.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} - \ln (1)}{3}$

Etapa 7.2.5

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} - 0}{3}$

Etapa 7.2.6

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} + 0}{3}$

Etapa 7.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{3} + \frac{- e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Etapa 7.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Etapa 7.5

Para escrever $e^{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Etapa 7.6

Combine $e^{3}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3}{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Etapa 7.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3 - e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Etapa 7.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3 - e^{3} + 1}{3}}{3}$

Etapa 7.9

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3}$ .

$\frac{\frac{3 e^{3} - e^{3} + 1}{3}}{3}$

Etapa 7.10

Subtraia $e^{3}$ de $3 e^{3}$ .

$\frac{\frac{2 e^{3} + 1}{3}}{3}$

Etapa 7.11

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{2 e^{3} + 1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 7.12

Multiplique $\frac{2 e^{3} + 1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 7.12.1

Multiplique $\frac{2 e^{3} + 1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

Etapa 7.12.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Forma decimal:

$4.57456376 \dots$