Cálculo Exemplos

$\int_{- 2}^{- 1} 2 x {(4 - x^{2})}^{3} d x$

Etapa 1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{- 2}^{- 1} x {(4 - x^{2})}^{3} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 4 - x^{2}$ . Depois, $d u = - 2 x d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 4 - x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $4 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Etapa 2.1.4

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 4 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 4 - {(- 2)}^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$u_{lower} = 4 - 1 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$u_{lower} = 4 - 4$

Etapa 2.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 4 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 4 - {(- 1)}^{2}$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$u_{upper} = 4 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}$

Etapa 2.5.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$u_{upper} = 4 + {(- 1)}^{1 + 2}$

Etapa 2.5.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$u_{upper} = 4 + {(- 1)}^{3}$

Etapa 2.5.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$u_{upper} = 4 - 1$

Etapa 2.5.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$u_{upper} = 3$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$2 \int_{0}^{3} u^{3} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 \int_{0}^{3} u^{3} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 3.2

Combine $u^{3}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{0}^{3} - \frac{u^{3}}{2} d u$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (- \int_{0}^{3} \frac{u^{3}}{2} d u)$

Etapa 5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \int_{0}^{3} \frac{u^{3}}{2} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- 2 (\frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^{3} d u)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Etapa 7.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Etapa 7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Etapa 7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{1} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Etapa 7.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$- \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{3})$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{4}$ e $u^{4}$ .

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{0}^{3})$

Etapa 10

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Avalie $\frac{u^{4}}{4}$ em $3$ e em $0$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 10.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 10.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{4})$

Etapa 10.2.3

Cancele o fator comum de $0$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.3.1

Fatore $4$ de $0$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Etapa 10.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.3.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Etapa 10.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Etapa 10.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{1})$

Etapa 10.2.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- (\frac{81}{4} - 0)$

Etapa 10.2.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- (\frac{81}{4} + 0)$

Etapa 10.2.5

Some $\frac{81}{4}$ e $0$ .

$- \frac{81}{4}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{81}{4}$

Forma decimal:

$- 20.25$

Forma de número misto:

$- 20 \frac{1}{4}$

Etapa 12