Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{2} 8 x e^{x^{2}} d x$

Etapa 1

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$8 \int_{0}^{2} x e^{x^{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Depois, $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Reordene os fatores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Etapa 2.1.4.2

Reordene os fatores em $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Etapa 2.3.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{2^{2}}$

Etapa 2.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = e^{4}$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{4}$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$8 \int_{1}^{e^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$8 (\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{4}})$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $u_{2}$ .

$8 (\frac{u_{2}}{2}]_{1}^{e^{4}})$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{u_{2}}{2}$ em $e^{4}$ e em $1$ .

$8 (\frac{e^{4}}{2} - \frac{1}{2})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$2 (4) \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 4 \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Etapa 5.2.3

Reescreva a expressão.

$4 e^{4} + 8 (- \frac{1}{2})$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$4 e^{4} + 8 (\frac{- 1}{2})$

Etapa 5.3.2

Fatore $2$ de $8$ .

$4 e^{4} + 2 (4) \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum.

$4 e^{4} + 2 \cdot 4 \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.3.4

Reescreva a expressão.

$4 e^{4} + 4 \cdot - 1$

Etapa 5.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$4 e^{4} - 4$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$4 e^{4} - 4$

Forma decimal:

$214.39260013 \dots$

Etapa 7