Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{2 x} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \ln (2)$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique $2 \ln (2)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$u_{upper} = \ln (2^{2})$

Etapa 1.5.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = \ln (4)$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (4)$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{\ln (4)} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\ln (4)} \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\ln (4)} e^{u} d u$

Etapa 4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{\ln (4)}$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $e^{u}$ em $\ln (4)$ e em $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{\ln (4)}) - e^{0})$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{1}{2} (4 - e^{0})$

Etapa 5.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{2} (4 - 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (4 - 1)$

Etapa 5.2.4

Subtraia $1$ de $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3$

Etapa 5.2.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $3$ .

$\frac{3}{2}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{3}{2}$

Forma decimal:

$1.5$

Forma de número misto:

$1 \frac{1}{2}$

Etapa 7