Cálculo Exemplos

$\int \arctan (2 x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \arctan (2 x)$ e $d v = 1$ .

$\arctan (2 x) x - \int x \frac{2}{4 x^{2} + 1} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $x$ e $\frac{2}{4 x^{2} + 1}$ .

$\arctan (2 x) x - \int \frac{x \cdot 2}{4 x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\arctan (2 x) x - \int \frac{2 x}{4 x^{2} + 1} d x$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\arctan (2 x) x - (2 \int \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x)$

Etapa 4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\arctan (2 x) x - 2 \int \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x$

Etapa 5

Deixe $u = 4 x^{2} + 1$ . Depois, $d u = 8 x d x$ , então, $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 4 x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$8 x + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $8 x$ e $0$ .

$8 x$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\arctan (2 x) x - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{8}$ .

$\arctan (2 x) x - 2 \int \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Etapa 6.2

Mova $8$ para a esquerda de $u$ .

$\arctan (2 x) x - 2 \int \frac{1}{8 u} d u$

Etapa 7

Como $\frac{1}{8}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{8}$ para fora da integral.

$\arctan (2 x) x - 2 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{8}$ e $- 2$ .

$\arctan (2 x) x + \frac{- 2}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $8$ .

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Etapa 8.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\arctan (2 x) x + \frac{2 (- 1)}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 8.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\arctan (2 x) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 8.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\arctan (2 x) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 8.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\arctan (2 x) x + \frac{- 1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 8.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\arctan (2 x) x - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\arctan (2 x) x - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 10

Simplifique.

$\arctan (2 x) x - \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x^{2} + 1$ .

$\arctan (2 x) x - \frac{1}{4} \ln (| 4 x^{2} + 1 |) + C$