Cálculo Exemplos

$\int \cot (x) \ln (\sin (x)) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = \ln (\sin (x))$ . Depois, $d u_{2} = \cot (x) d x$ , então, $\frac{1}{\cot (x)} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = \ln (\sin (x))$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\ln (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.3

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x)$

Etapa 1.1.5

Simplifique.

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Etapa 1.1.5.1

Reordene os fatores de $\csc (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \csc (x)$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 1.1.5.3

Combine $\cos (x)$ e $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 1.1.5.4

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$\cot (x)$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int u_{2} d u_{2}$

Etapa 2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\ln (\sin (x))$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (\sin (x)) + C$