Cálculo Exemplos

$\int 7 x e^{5 x^{2}} d x$

Etapa 1

Como $7$ é constante com relação a $x$ , mova $7$ para fora da integral.

$7 \int x e^{5 x^{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{2} = e^{5 x^{2}}$ . Depois, $d u_{2} = 10 x e^{5 x^{2}} d x$ , então, $\frac{1}{10} d u_{2} = x e^{5 x^{2}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{2} = e^{5 x^{2}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $e^{5 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{5 x^{2}}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x^{2}$ .

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Etapa 2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 x^{2}$ .

$e^{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Etapa 2.1.3

Diferencie.

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Etapa 2.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{5 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{5 x^{2}} (5 (2 x))$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$e^{5 x^{2}} (10 x)$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Reordene os fatores de $e^{5 x^{2}} (10 x)$ .

$10 e^{5 x^{2}} x$

Etapa 2.1.4.2

Reordene os fatores em $10 e^{5 x^{2}} x$ .

$10 x e^{5 x^{2}}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$7 \int \frac{1}{10} d u_{2}$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$7 (\frac{1}{10} u_{2} + C)$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Reescreva $7 (\frac{1}{10} u_{2} + C)$ como $7 (\frac{1}{10}) u_{2} + C$ .

$7 (\frac{1}{10}) u_{2} + C$

Etapa 4.2

Combine $7$ e $\frac{1}{10}$ .

$\frac{7}{10} u_{2} + C$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e^{5 x^{2}}$ .

$\frac{7}{10} e^{5 x^{2}} + C$