Cálculo Exemplos

$\int 20 t^{3} e^{- t^{4}} d t$

Etapa 1

Como $20$ é constante com relação a $t$ , mova $20$ para fora da integral.

$20 \int t^{3} e^{- t^{4}} d t$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = t^{2}$ . Depois, $d u_{1} = 2 t d t$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = t d t$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = t^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie $t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 t$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$20 \int u_{1} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ como ${u_{1}}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$20 \int u_{1} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$20 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$20 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$20 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$20 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$20 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$20 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $u_{1}$ .

$20 \int \frac{u_{1}}{2} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 3.3

Combine $\frac{u_{1}}{2}$ e $e^{- {u_{1}}^{2}}$ .

$20 \int \frac{u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$20 (\frac{1}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1})$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $20$ .

$\frac{20}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $20$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $2$ de $20$ .

$\frac{2 \cdot 10}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 10}{2 (1)} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 1} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{10}{1} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 5.2.2.4

Divida $10$ por $1$ .

$10 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 6

Deixe $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Depois, $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Diferencie $- {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Etapa 6.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $- {u_{1}}^{2}$ em relação a $u_{1}$ é $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (2 u_{1})$

Etapa 6.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 u_{1}$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$10 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$10 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Etapa 7.2

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$10 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$10 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Etapa 9

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$- 10 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Etapa 10

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- 10 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 10$ .

$\frac{- 10}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11.2

Cancele o fator comum de $- 10$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Fatore $2$ de $- 10$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 5}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11.2.2.4

Divida $- 5$ por $1$ .

$- 5 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 12

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$- 5 (e^{u_{2}} + C)$

Etapa 13

Simplifique.

$- 5 e^{u_{2}} + C$

Etapa 14

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- {u_{1}}^{2}$ .

$- 5 e^{- {u_{1}}^{2}} + C$

Etapa 14.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $t^{2}$ .

$- 5 e^{- {(t^{2})}^{2}} + C$