Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{5} (x) d x$

Etapa 1

Fatore $\cos^{4} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{4} (x) \cos (x) d x$

Etapa 2

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x) d x$

Etapa 2.2

Reescreva ${\cos (x)}^{2 (2)}$ como exponenciação.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Etapa 3

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\cos^{2} (x)$ como $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Etapa 4

Deixe $u = \sin (x)$ . Depois, $d u = \cos (x) d x$ , então, $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = \sin (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Etapa 4.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 4.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{1} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Etapa 5

Expanda ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

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Etapa 5.1

Reescreva ${(1 - u^{2})}^{2}$ como $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$\int_{0}^{1} (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{0}^{1} 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Etapa 5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Etapa 5.5

Mova $u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Etapa 5.6

Mova $u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.7

Multiplique $1$ por $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.10

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.11

Multiplique $u^{2}$ por $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Etapa 5.13

Some $2$ e $2$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Etapa 5.14

Subtraia $u^{2}$ de $- u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Etapa 5.15

Reordene $- 2 u^{2}$ e $u^{4}$ .

$\int_{0}^{1} 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Etapa 5.16

Mova $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - 2 u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{4}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

Etapa 8

Como $- 2$ é constante com relação a $u$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d u$

Etapa 10

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d u$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1}) + u]_{0}^{1}$

Etapa 12

Combine $\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1}$ e $u]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + u]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Etapa 13

Substitua e simplifique.

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Etapa 13.1

Avalie $\frac{1}{5} u^{5} + u$ em $1$ e em $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 1) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Etapa 13.2

Avalie $\frac{u^{3}}{3}$ em $1$ e em $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 1) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 13.3

Simplifique.

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Etapa 13.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 13.3.2

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$\frac{1}{5} + 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 13.3.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 13.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 + 5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 13.3.5

Some $1$ e $5$ .

$\frac{6}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 13.3.6

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{6}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 13.3.7

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $0$ .

$\frac{6}{5} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 13.3.8

Some $0$ e $0$ .

$\frac{6}{5} - 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 13.3.9

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{6}{5} + 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 13.3.10

Some $\frac{6}{5}$ e $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 13.3.11

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 13.3.12

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Etapa 13.3.13

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 13.3.13.1

Fatore $3$ de $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Etapa 13.3.13.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.3.13.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Etapa 13.3.13.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Etapa 13.3.13.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Etapa 13.3.13.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - 0)$

Etapa 13.3.14

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 0)$

Etapa 13.3.15

Some $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3})$

Etapa 13.3.16

Combine $- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6}{5} + \frac{- 2}{3}$

Etapa 13.3.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{6}{5} - \frac{2}{3}$

Etapa 13.3.18

Para escrever $\frac{6}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Etapa 13.3.19

Para escrever $- \frac{2}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 13.3.20

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 13.3.20.1

Multiplique $\frac{6}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 13.3.20.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 13.3.20.3

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Etapa 13.3.20.4

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{15}$

Etapa 13.3.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6 \cdot 3 - 2 \cdot 5}{15}$

Etapa 13.3.22

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.3.22.1

Multiplique $6$ por $3$ .

$\frac{18 - 2 \cdot 5}{15}$

Etapa 13.3.22.2

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$\frac{18 - 10}{15}$

Etapa 13.3.22.3

Subtraia $10$ de $18$ .

$\frac{8}{15}$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{8}{15}$

Forma decimal:

$0.5\overline{3}$