Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (x) d x$

Etapa 1

Fatore $\sin^{4} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} (x) \sin (x) d x$

Etapa 2

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) d x$

Etapa 2.2

Reescreva ${\sin (x)}^{2 (2)}$ como exponenciação.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Etapa 3

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sin^{2} (x)$ como $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Etapa 4

Deixe $u = \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Etapa 4.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 4.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{0} - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{1}^{0} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Etapa 6

Expanda ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva ${(1 - u^{2})}^{2}$ como $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$- \int_{1}^{0} (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \int_{1}^{0} 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Etapa 6.5

Mova $u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Etapa 6.6

Mova $u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Etapa 6.7

Multiplique $1$ por $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Etapa 6.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Etapa 6.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Etapa 6.10

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Etapa 6.11

Multiplique $u^{2}$ por $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Etapa 6.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Etapa 6.13

Some $2$ e $2$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Etapa 6.14

Subtraia $u^{2}$ de $- u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Etapa 6.15

Reordene $- 2 u^{2}$ e $u^{4}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Etapa 6.16

Mova $1$ .

$- \int_{1}^{0} u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$- (\int_{1}^{0} u^{4} d u + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{4}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{5}$ e $u^{5}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Etapa 10

Como $- 2$ é constante com relação a $u$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 \int_{1}^{0} u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u)$

Etapa 12

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u)$

Etapa 13

Aplique a regra da constante.

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + u]_{1}^{0})$

Etapa 14

Combine $\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0}$ e $u]_{1}^{0}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5} + u]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}))$

Etapa 15

Substitua e simplifique.

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Etapa 15.1

Avalie $\frac{u^{5}}{5} + u$ em $0$ e em $1$ .

$- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}))$

Etapa 15.2

Avalie $\frac{u^{3}}{3}$ em $0$ e em $1$ .

$- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 15.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- (\frac{0}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 15.3.2

Cancele o fator comum de $0$ e $5$ .

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Etapa 15.3.2.1

Fatore $5$ de $0$ .

$- (\frac{5 (0)}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 15.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 15.3.2.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 15.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 15.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- (\frac{0}{1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 15.3.2.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- (0 + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 15.3.3

Some $0$ e $0$ .

$- (0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 15.3.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$- (0 - (\frac{1}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 15.3.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- (0 - (\frac{1}{5} + \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 15.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- (0 - \frac{1 + 5}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 15.3.7

Some $1$ e $5$ .

$- (0 - \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 15.3.8

Subtraia $\frac{6}{5}$ de $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 15.3.9

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 15.3.10

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 15.3.10.1

Fatore $3$ de $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 15.3.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 15.3.10.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 15.3.10.2.2

Cancele o fator comum.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 15.3.10.2.3

Reescreva a expressão.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 15.3.10.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 15.3.11

Um elevado a qualquer potência é um.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1}{3}))$

Etapa 15.3.12

Subtraia $\frac{1}{3}$ de $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (- \frac{1}{3}))$

Etapa 15.3.13

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- (- \frac{6}{5} + 2 (\frac{1}{3}))$

Etapa 15.3.14

Combine $2$ e $\frac{1}{3}$ .

$- (- \frac{6}{5} + \frac{2}{3})$

Etapa 15.3.15

Para escrever $- \frac{6}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3})$

Etapa 15.3.16

Para escrever $\frac{2}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Etapa 15.3.17

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 15.3.17.1

Multiplique $\frac{6}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Etapa 15.3.17.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Etapa 15.3.17.3

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Etapa 15.3.17.4

Multiplique $3$ por $5$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15})$

Etapa 15.3.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{- 6 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15}$

Etapa 15.3.19

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.3.19.1

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$- \frac{- 18 + 2 \cdot 5}{15}$

Etapa 15.3.19.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$- \frac{- 18 + 10}{15}$

Etapa 15.3.19.3

Some $- 18$ e $10$ .

$- \frac{- 8}{15}$

Etapa 15.3.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{8}{15}$

Etapa 15.3.21

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{8}{15})$

Etapa 15.3.22

Multiplique $\frac{8}{15}$ por $1$ .

$\frac{8}{15}$

Etapa 16

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{8}{15}$

Forma decimal:

$0.5\overline{3}$