Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (\frac{2 x}{3}) d x$

Etapa 1

Deixe $u = \frac{2 x}{3}$ . Depois, $d u = \frac{2}{3} d x$ , então, $\frac{3}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \frac{2 x}{3}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

Etapa 1.1.2

Como $\frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \frac{2 x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \cdot 0}{3}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 1.3.1.1

Fatore $3$ de $2 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3}$

Etapa 1.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.1.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3 (1)}$

Etapa 1.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = \frac{2 \cdot 0}{1}$

Etapa 1.3.1.2.4

Divida $2 \cdot 0$ por $1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 1.3.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \frac{2 x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \frac{π}{2}}{3}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Combine $2$ e $\frac{π}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\frac{2 π}{2}}{3}$

Etapa 1.5.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 1.5.2.1

Reduza a expressão $\frac{2 π}{2}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 1.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = \frac{\frac{2 π}{2}}{3}$

Etapa 1.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \frac{\frac{π}{1}}{3}$

Etapa 1.5.2.2

Divida $π$ por $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{\frac{2}{3}} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{2}{3}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) (1 (\frac{3}{2})) d u$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{3}{2} d u$

Etapa 2.3

Combine $\cos (u)$ e $\frac{3}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u) \cdot 3}{2} d u$

Etapa 2.4

Mova $3$ para a esquerda de $\cos (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \cos (u)}{2} d u$

Etapa 3

Como $\frac{3}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{3}{2}$ para fora da integral.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u$

Etapa 4

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{3}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Etapa 5

Avalie $\sin (u)$ em $\frac{π}{3}$ e em $0$ .

$\frac{3}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (0))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0))$

Etapa 6.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0)$

Etapa 6.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0)$

Etapa 6.4

Some $\frac{\sqrt{3}}{2}$ e $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 6.5

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Forma decimal:

$1.29903810 \dots$