Cálculo Exemplos

$\int x^{3} \cos (2 x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{3}$ e $d v = \cos (2 x)$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (3 x^{2}) d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$x^{3} \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (3 x^{2}) d x$

Etapa 2.2

Combine $x^{3}$ e $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (3 x^{2}) d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2} \cdot 3$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2} \cdot 3$ para fora da integral.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 3 \int \sin (2 x) (x^{2}) d x)$

Etapa 4

Combine $\frac{1}{2}$ e $3$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} \int \sin (2 x) (x^{2}) d x$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{2}$ e $d v = \sin (2 x)$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (2 x) d x)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (2 x) d x)$

Etapa 6.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (2 x) d x)$

Etapa 6.3

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} (2 x) d x)$

Etapa 6.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int - 2 \frac{\cos (2 x)}{2} x d x)$

Etapa 6.5

Combine $- 2$ e $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int \frac{- 2 \cos (2 x)}{2} x d x)$

Etapa 6.6

Combine $\frac{- 2 \cos (2 x)}{2}$ e $x$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int \frac{- 2 \cos (2 x) x}{2} d x)$

Etapa 6.7

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 6.7.1

Fatore $2$ de $- 2 \cos (2 x) x$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int \frac{2 (- \cos (2 x) x)}{2} d x)$

Etapa 6.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int \frac{2 (- \cos (2 x) x)}{2 (1)} d x)$

Etapa 6.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int \frac{2 (- \cos (2 x) x)}{2 \cdot 1} d x)$

Etapa 6.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int \frac{- \cos (2 x) x}{1} d x)$

Etapa 6.7.2.4

Divida $- \cos (2 x) x$ por $1$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int - \cos (2 x) x d x)$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - - \int \cos (2 x) x d x)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + 1 \int \cos (2 x) x d x)$

Etapa 8.2

Multiplique $\int \cos (2 x) x d x$ por $1$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \int \cos (2 x) x d x)$

Etapa 9

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \cos (2 x)$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + x (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + x \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x)$

Etapa 10.2

Combine $x$ e $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x)$

Etapa 10.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{\sin (2 x)}{2} d x)$

Etapa 11

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \int \sin (2 x) d x))$

Etapa 12

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 12.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 12.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 12.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 12.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 12.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 12.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 13

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u)}{2} d u)$

Etapa 14

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u) d u)$

Etapa 15.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} \int \sin (u) d u)$

Etapa 16

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C))$

Etapa 17

Simplifique.

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Etapa 17.1

Reescreva $\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C))$ como $\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4}) + C$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4}) + C$

Etapa 17.2

Simplifique.

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Etapa 17.2.1

Para escrever $- \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Etapa 17.2.2

Combine $- \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} + \frac{- \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 17.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 17.2.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x) - 2 (\frac{3}{2}) (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})}{2} + C$

Etapa 17.2.5

Combine $- 2$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{- 2 \cdot 3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})}{2} + C$

Etapa 17.2.6

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{- 6}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})}{2} + C$

Etapa 17.2.7

Cancele o fator comum de $- 6$ e $2$ .

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Etapa 17.2.7.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{2 \cdot - 3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})}{2} + C$

Etapa 17.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 17.2.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})}{2} + C$

Etapa 17.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})}{2} + C$

Etapa 17.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{- 3}{1} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})}{2} + C$

Etapa 17.2.7.2.4

Divida $- 3$ por $1$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x) - 3 (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})}{2} + C$

Etapa 18

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x) - 3 (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (2 x)}{4})}{2} + C$

Etapa 19

Simplifique.

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Etapa 19.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 19.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) - 3 (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2}) - 3 \frac{x \sin (2 x)}{2} - 3 \frac{\cos (2 x)}{4}}{2} + C$

Etapa 19.1.2

Simplifique.

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Etapa 19.1.2.1

Multiplique $- 3 (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2})$ .

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Etapa 19.1.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + 3 \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - 3 \frac{x \sin (2 x)}{2} - 3 \frac{\cos (2 x)}{4}}{2} + C$

Etapa 19.1.2.1.2

Combine $3$ e $\frac{x^{2} \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{3 (x^{2} \cos (2 x))}{2} - 3 \frac{x \sin (2 x)}{2} - 3 \frac{\cos (2 x)}{4}}{2} + C$

Etapa 19.1.2.2

Combine $- 3$ e $\frac{x \sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{3 (x^{2} \cos (2 x))}{2} + \frac{- 3 (x \sin (2 x))}{2} - 3 \frac{\cos (2 x)}{4}}{2} + C$

Etapa 19.1.2.3

Combine $- 3$ e $\frac{\cos (2 x)}{4}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{3 (x^{2} \cos (2 x))}{2} + \frac{- 3 (x \sin (2 x))}{2} + \frac{- 3 \cos (2 x)}{4}}{2} + C$

Etapa 19.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 19.1.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{3 x^{2} \cos (2 x)}{2} - \frac{3 x \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 \cos (2 x)}{4}}{2} + C$

Etapa 19.1.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{3 x^{2} \cos (2 x)}{2} - \frac{3 x \sin (2 x)}{2} - \frac{3 \cos (2 x)}{4}}{2} + C$

Etapa 19.2

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} (x^{3} \sin (2 x) + \frac{3}{2} x^{2} \cos (2 x) - \frac{3}{2} x \sin (2 x) - \frac{3}{4} \cos (2 x)) + C$