Cálculo Exemplos

$\int \frac{x}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1.1

Fatore a fração.

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Etapa 1.1.1.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{x}{{(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.1.2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$\frac{x}{u^{2} + 2 u + 1}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.1.1.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x}{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Etapa 1.1.1.3.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{x}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 1$ .

$\frac{x}{{(u + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.5.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Etapa 1.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.6.1.2

Divida $A x + B$ por $1$ .

$x = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.6.2

Cancele o fator comum de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ e $x^{2} + 1$ .

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Etapa 1.1.6.2.1

Fatore $x^{2} + 1$ de $(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.6.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.6.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Etapa 1.1.6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Etapa 1.1.6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 1)}{1}$

Etapa 1.1.6.2.2.4

Divida $(C x + D) (x^{2} + 1)$ por $1$ .

$x = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 1)$

Etapa 1.1.6.3

Expanda $(C x + D) (x^{2} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.6.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = A x + B + C x (x^{2} + 1) + D (x^{2} + 1)$

Etapa 1.1.6.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 1 + D (x^{2} + 1)$

Etapa 1.1.6.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Etapa 1.1.6.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.6.4.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.6.4.1.1

Mova $x^{2}$ .

$x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Etapa 1.1.6.4.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 1.1.6.4.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Etapa 1.1.6.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Etapa 1.1.6.4.1.3

Some $2$ e $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Etapa 1.1.6.4.2

Multiplique $C$ por $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x + D x^{2} + D \cdot 1$

Etapa 1.1.6.4.3

Multiplique $D$ por $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x + D x^{2} + D$

Etapa 1.1.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.7.1

Mova $B$ .

$x = A x + C x^{3} + C x + D x^{2} + B + D$

Etapa 1.1.7.2

Mova $C x$ .

$x = A x + C x^{3} + D x^{2} + C x + B + D$

Etapa 1.1.7.3

Mova $A x$ .

$x = C x^{3} + D x^{2} + A x + C x + B + D$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{3}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = C$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = D$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + C$

Etapa 1.2.4

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = B + D$

Etapa 1.2.5

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = C$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

$0 = C$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Reescreva a equação como $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $0$ em cada equação.

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Etapa 1.3.2.1

Reescreva a equação como $D = 0$ .

$D = 0$

$C = 0$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

Etapa 1.3.2.2

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $1 = A + C$ por $0$ .

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Etapa 1.3.2.3

Simplifique $1 = A + 0$ .

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Etapa 1.3.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.2.3.1.1

Remova os parênteses.

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Etapa 1.3.2.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.3.2.1

Some $A$ e $0$ .

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $D$ por $0$ em cada equação.

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Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $A = 1$ .

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Etapa 1.3.3.2

Substitua todas as ocorrências de $D$ em $0 = B + D$ por $0$ .

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Etapa 1.3.3.3

Simplifique $0 = B + 0$ .

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Etapa 1.3.3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.3.3.1.1

Remova os parênteses.

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Etapa 1.3.3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.3.3.2.1

Some $B$ e $0$ .

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Etapa 1.3.4

Reescreva a equação como $B = 0$ .

$B = 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Etapa 1.3.5

Resolva o sistema de equações.

$B = 0 A = 1 D = 0 C = 0$

Etapa 1.3.6

Liste todas as soluções.

$B = 0, A = 1, D = 0, C = 0$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ , $C$ e $D$ .

$\frac{1 x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 x + 0}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.1.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5.1.2

Some $x$ e $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.2.1

Multiplique $0$ por $x$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 + 0}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5.2.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5.3

Divida $0$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 0$

Etapa 1.5.4

Remova o zero da expressão.

$\int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 2.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Etapa 3.2

Mova $2$ para a esquerda de $u^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Etapa 5.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Etapa 5.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 2} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva $\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$ como $\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$

Etapa 7.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{2 u} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} + C$