Cálculo Exemplos

$\int \cos^{3} (4 x) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = 4 x$ . Depois, $d u_{1} = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = 4 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 1.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

Etapa 2

Combine $\cos^{3} (u_{1})$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 4

Fatore $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 5

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\cos^{2} (u_{1})$ como $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6

Deixe $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Depois, $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , então, $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Etapa 6.1.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{4} (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{4} (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{4} (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

Etapa 11

Simplifique.

$\frac{1}{4} (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Etapa 12

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 12.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

Etapa 12.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x$ .

$\frac{1}{4} (\sin (4 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (4 x)) + C$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Combine $\sin^{3} (4 x)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\sin (4 x) - \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

Etapa 13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{4} \sin (4 x) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

Etapa 13.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $\sin (4 x)$ .

$\frac{\sin (4 x)}{4} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

Etapa 13.4

Multiplique $\frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3})$ .

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Etapa 13.4.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{\sin^{3} (4 x)}{3}$ .

$\frac{\sin (4 x)}{4} - \frac{\sin^{3} (4 x)}{4 \cdot 3} + C$

Etapa 13.4.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{\sin (4 x)}{4} - \frac{\sin^{3} (4 x)}{12} + C$

Etapa 14

Reordene os termos.

$\frac{1}{4} \sin (4 x) - \frac{1}{12} \sin^{3} (4 x) + C$