Cálculo Exemplos

$\int \sin^{3} (x) \cos^{5} (x) d x$

Etapa 1

Fatore $\cos^{4} (x)$ .

$\int \sin^{3} (x) (\cos^{4} (x) \cos (x)) d x$

Etapa 2

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\int \sin^{3} (x) ({\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x)) d x$

Etapa 2.2

Reescreva ${\cos (x)}^{2 (2)}$ como exponenciação.

$\int \sin^{3} (x) ({(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

$\int \sin^{3} (x) ({(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

Etapa 3

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\cos^{2} (x)$ como $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{3} (x) ({(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

Etapa 4

Deixe $u = \sin (x)$ . Depois, $d u = \cos (x) d x$ , então, $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = \sin (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

$\cos (x)$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{3} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

$\int u^{3} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Etapa 5

Expanda $u^{3} {(1 - u^{2})}^{2}$ .

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Etapa 5.1

Reescreva ${(1 - u^{2})}^{2}$ como $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$\int u^{3} ((1 - u^{2}) (1 - u^{2})) d u$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u^{3} (1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

Etapa 5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Etapa 5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2})) + u^{3} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Etapa 5.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u^{3} (1 \cdot 1) + u^{3} (1 (- u^{2})) + u^{3} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Etapa 5.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u^{3} (1 \cdot 1) + u^{3} (1 (- u^{2})) + u^{3} (- u^{2} \cdot 1) + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Etapa 5.8

Mova $u^{3}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + u^{3} (1 (- u^{2})) + u^{3} (- u^{2} \cdot 1) + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Etapa 5.9

Mova os parênteses.

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + u^{3} (1 \cdot - 1) u^{2} + u^{3} (- u^{2} \cdot 1) + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Etapa 5.10

Mova $u^{3}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- u^{2} \cdot 1) + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Etapa 5.11

Mova $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- 1 \cdot 1 u^{2}) + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Etapa 5.12

Mova os parênteses.

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- 1 \cdot 1) u^{2} + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Etapa 5.13

Mova $u^{3}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Etapa 5.14

Mova $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

Etapa 5.15

Mova os parênteses.

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

Etapa 5.16

Mova os parênteses.

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.17

Mova $u^{3}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.18

Multiplique $1$ por $1$ .

$\int 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.19

Multiplique $u^{3}$ por $1$ .

$\int u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.20

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\int u^{3} - u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.21

Fatore o negativo.

$\int u^{3} - (u^{3} u^{2}) - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.22

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{3} - u^{3 + 2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.23

Some $3$ e $2$ .

$\int u^{3} - u^{5} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.24

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\int u^{3} - u^{5} - u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.25

Fatore o negativo.

$\int u^{3} - u^{5} - (u^{3} u^{2}) - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.26

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{3} - u^{5} - u^{3 + 2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.27

Some $3$ e $2$ .

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.28

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} + 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.29

Multiplique $u^{3}$ por $1$ .

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.30

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} + u^{3 + 2} u^{2} d u$

Etapa 5.31

Some $3$ e $2$ .

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

Etapa 5.32

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} + u^{5 + 2} d u$

Etapa 5.33

Some $5$ e $2$ .

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} + u^{7} d u$

Etapa 5.34

Subtraia $u^{5}$ de $- u^{5}$ .

$\int u^{3} - 2 u^{5} + u^{7} d u$

Etapa 5.35

Reordene $- 2 u^{5}$ e $u^{7}$ .

$\int u^{3} + u^{7} - 2 u^{5} d u$

Etapa 5.36

Mova $u^{3}$ .

$\int u^{7} - 2 u^{5} + u^{3} d u$

$\int u^{7} - 2 u^{5} + u^{3} d u$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int u^{7} d u + \int - 2 u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{7}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C + \int - 2 u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Etapa 8

Como $- 2$ é constante com relação a $u$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 2 \int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{5}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 2 (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \int u^{3} d u$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 2 (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $u^{6}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 2 (\frac{u^{6}}{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Etapa 11.2

Simplifique.

$\frac{u^{8}}{8} - \frac{u^{6}}{3} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

$\frac{u^{8}}{8} - \frac{u^{6}}{3} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{8} (x)}{8} - \frac{\sin^{6} (x)}{3} + \frac{1}{4} \sin^{4} (x) + C$

Etapa 13

Reordene os termos.

$\frac{1}{8} \sin^{8} (x) - \frac{1}{3} \sin^{6} (x) + \frac{1}{4} \sin^{4} (x) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$