Cálculo Exemplos

$\int \frac{4}{x^{3} + 4 x} d x$

Etapa 1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int \frac{1}{x^{3} + 4 x} d x$

Etapa 2

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 2.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 2.1.1

Fatore $x$ de $x^{3} + 4 x$ .

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Etapa 2.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + 4 x}$

Etapa 2.1.1.2

Fatore $x$ de $4 x$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 4}$

Etapa 2.1.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot 4$ .

$\frac{1}{x (x^{2} + 4)}$

Etapa 2.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$

Etapa 2.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x^{2} + 4)$ .

$\frac{1 (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Etapa 2.1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Etapa 2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Etapa 2.1.5

Cancele o fator comum de $x^{2} + 4$ .

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Etapa 2.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Etapa 2.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Etapa 2.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.6.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Etapa 2.1.6.1.2

Divida $A (x^{2} + 4)$ por $1$ .

$1 = A (x^{2} + 4) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Etapa 2.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Etapa 2.1.6.3

Mova $4$ para a esquerda de $A$ .

$1 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Etapa 2.1.6.4

Cancele o fator comum de $x^{2} + 4$ .

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Etapa 2.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x^{2} + 4 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Etapa 2.1.6.4.2

Divida $(B x + C) (x)$ por $1$ .

$1 = A x^{2} + 4 A + (B x + C) (x)$

Etapa 2.1.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x^{2} + 4 A + B x \cdot x + C x$

Etapa 2.1.6.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.6.6.1

Mova $x$ .

$1 = A x^{2} + 4 A + B (x \cdot x) + C x$

Etapa 2.1.6.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$1 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + C x$

Etapa 2.1.7

Mova $4 A$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + 4 A$

Etapa 2.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 2.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = C$

Etapa 2.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = 4 A$

Etapa 2.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = 4 A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = 4 A$

Etapa 2.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 2.3.1

Reescreva a equação como $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = 4 A$

Etapa 2.3.2

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $0$ em cada equação.

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Etapa 2.3.2.1

Reescreva a equação como $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Etapa 2.3.2.2

Divida cada termo em $4 A = 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 2.3.2.2.1

Divida cada termo em $4 A = 1$ por $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

Etapa 2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

Etapa 2.3.2.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{1}{4}$ em cada equação.

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Etapa 2.3.3.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + B$ por $\frac{1}{4}$ .

$0 = (\frac{1}{4}) + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.2.1

Remova os parênteses.

$0 = \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

Etapa 2.3.4

Resolva $B$ em $0 = \frac{1}{4} + B$ .

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Etapa 2.3.4.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{4} + B = 0$ .

$\frac{1}{4} + B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

Etapa 2.3.4.2

Subtraia $\frac{1}{4}$ dos dois lados da equação.

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

Etapa 2.3.5

Resolva o sistema de equações.

$B = - \frac{1}{4} A = \frac{1}{4} C = 0$

Etapa 2.3.6

Liste todas as soluções.

$B = - \frac{1}{4}, A = \frac{1}{4}, C = 0$

Etapa 2.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{1}{4 x} + 0}{x^{2} + 4}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Remova os parênteses.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{(- \frac{1}{4}) \cdot x + 0}{x^{2} + 4}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{x}{4} + 0}{x^{2} + 4}$

Etapa 2.5.2.2

Some $- \frac{x}{4}$ e $0$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{x}{4}}{x^{2} + 4}$

Etapa 2.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} - \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{x^{2} + 4}$

Etapa 2.5.4

Multiplique $\frac{1}{x^{2} + 4}$ por $\frac{x}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} - \frac{x}{(x^{2} + 4) \cdot 4}$

Etapa 2.5.5

Mova $4$ para a esquerda de $x^{2} + 4$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)}$

Etapa 2.5.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)}$

Etapa 2.5.7

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{x}$ .

$4 \int \frac{1}{4 x} - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$4 (\int \frac{1}{4 x} d x + \int - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x)$

Etapa 4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x)$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x)$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x)$

Etapa 7

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - (\frac{1}{4} \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x))$

Etapa 8

Deixe $u = x^{2} + 4$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = x^{2} + 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Etapa 8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 8.1.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 8.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Etapa 9.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u} d u)$

Etapa 10

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 11.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 12

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{8} (\ln (| u |) + C))$

Etapa 13

Simplifique.

$4 (\frac{1}{4} \ln (| x |) - \frac{1}{8} \ln (| u |)) + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 4$ .

$4 (\frac{1}{4} \ln (| x |) - \frac{1}{8} \ln (| x^{2} + 4 |)) + C$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{\ln (| x |)}{4} - \frac{1}{8} \ln (| x^{2} + 4 |)) + C$

Etapa 15.1.2

Combine $\ln (| x^{2} + 4 |)$ e $\frac{1}{8}$ .

$4 (\frac{\ln (| x |)}{4} - \frac{\ln (| x^{2} + 4 |)}{8}) + C$

Etapa 15.2

Para escrever $\frac{\ln (| x |)}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{\ln (| x |)}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 4 |)}{8}) + C$

Etapa 15.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 15.3.1

Multiplique $\frac{\ln (| x |)}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{\ln (| x |) \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{\ln (| x^{2} + 4 |)}{8}) + C$

Etapa 15.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$4 (\frac{\ln (| x |) \cdot 2}{8} - \frac{\ln (| x^{2} + 4 |)}{8}) + C$

Etapa 15.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \frac{\ln (| x |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 4 |)}{8} + C$

Etapa 15.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 15.5.1

Fatore $4$ de $8$ .

$4 \frac{\ln (| x |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 4 |)}{4 (2)} + C$

Etapa 15.5.2

Cancele o fator comum.

$4 \frac{\ln (| x |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 4 |)}{4 \cdot 2} + C$

Etapa 15.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (| x |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 4 |)}{2} + C$

Etapa 15.6

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (| x |)$ .

$\frac{2 \ln (| x |) - \ln (| x^{2} + 4 |)}{2} + C$

Etapa 16

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} (2 \ln (| x |) - \ln (| x^{2} + 4 |)) + C$