Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{2} - 1}{x^{3} + x} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1.1

Fatore a fração.

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Etapa 1.1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{3} + x}$

Etapa 1.1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{3} + x}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $x$ de $x^{3} + x$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x}$

Etapa 1.1.1.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

Etapa 1.1.1.3.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.3.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x^{2} + 1)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 1.1.4.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.4.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.2

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

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Etapa 1.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.2.2

Divida $(x + 1) (x - 1)$ por $1$ .

$(x + 1) (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.5

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.6.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.6.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.6.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.6.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.6.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x^{2} - x + x - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.6.2

Some $- x$ e $x$ .

$x^{2} + 0 - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.6.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.7.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.7.1.2

Divida $A (x^{2} + 1)$ por $1$ .

$x^{2} - 1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.7.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.7.4

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

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Etapa 1.1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.7.4.2

Divida $(B x + C) (x)$ por $1$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

Etapa 1.1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

Etapa 1.1.7.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.7.6.1

Mova $x$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

Etapa 1.1.7.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

Etapa 1.1.8

Mova $A$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = C$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 1 = A$

Etapa 1.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = A$

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = A$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Reescreva a equação como $C = 0$ .

$C = 0$

$1 = A + B$

$- 1 = A$

Etapa 1.3.2

Reescreva a equação como $A = - 1$ .

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = A + B$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- 1$ em cada equação.

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Etapa 1.3.3.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = A + B$ por $- 1$ .

$1 = (- 1) + B$

$A = - 1$

$C = 0$

Etapa 1.3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.3.2.1

Remova os parênteses.

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

Etapa 1.3.4

Resolva $B$ em $1 = - 1 + B$ .

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Etapa 1.3.4.1

Reescreva a equação como $- 1 + B = 1$ .

$- 1 + B = 1$

$A = - 1$

$C = 0$

Etapa 1.3.4.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$B = 1 + 1$

$A = - 1$

$C = 0$

Etapa 1.3.4.2.2

Some $1$ e $1$ .

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

Etapa 1.3.5

Resolva o sistema de equações.

$B = 2 A = - 1 C = 0$

Etapa 1.3.6

Liste todas as soluções.

$B = 2, A = - 1, C = 0$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{2 x + 0}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Remova os parênteses.

$\frac{- 1}{x} + \frac{(2) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5.2

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{- 1}{x} + \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{1}{x} + \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 5

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 6

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 6.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 6.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 7.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\ln (| x |) + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 9.2.2

Reescreva a expressão.

$- (\ln (| x |) + C) + 1 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 9.3

Multiplique $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \ln (| u |) + C$

Etapa 11

Simplifique.

$- \ln (| x |) + \ln (| u |) + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$- \ln (| x |) + \ln (| x^{2} + 1 |) + C$