Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{x^{2} - 2 x} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1.1

Fatore $x$ de $x^{2} - 2 x$ .

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Etapa 1.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot x - 2 x}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $x$ de $- 2 x$ .

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 2}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$\frac{1}{x (x - 2)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 2}$

Etapa 1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x - 2)$ .

$\frac{1 (x (x - 2))}{x (x - 2)} = \frac{A (x (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x (x - 2))}{x (x - 2)} = \frac{A (x (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (x - 2)}{x - 2} = \frac{A (x (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x - 2)}{x - 2} = \frac{A (x (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (x (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (x (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.6.1.2

Divida $A (x - 2)$ por $1$ .

$1 = A (x - 2) + \frac{(B) (x (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.6.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $A$ .

$1 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.6.4

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 1.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x - 2 A + \frac{B (x (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.6.4.2

Divida $(B) (x)$ por $1$ .

$1 = A x - 2 A + (B) (x)$

$1 = A x - 2 A + B x$

Etapa 1.1.7

Mova $- 2 A$ .

$1 = A x + B x - 2 A$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = - 2 A$

Etapa 1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$1 = - 2 A$

$0 = A + B$

$1 = - 2 A$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $1 = - 2 A$ .

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Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $- 2 A = 1$ .

$- 2 A = 1$

$0 = A + B$

Etapa 1.3.1.2

Divida cada termo em $- 2 A = 1$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 1.3.1.2.1

Divida cada termo em $- 2 A = 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B$

Etapa 1.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 1.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B$

Etapa 1.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B$

Etapa 1.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.1.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- \frac{1}{2}$ em cada equação.

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Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + B$ por $- \frac{1}{2}$ .

$0 = (- \frac{1}{2}) + B$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $0 = - \frac{1}{2} + B$ .

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Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $- \frac{1}{2} + B = 0$ .

$- \frac{1}{2} + B = 0$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.3.2

Some $\frac{1}{2}$ aos dois lados da equação.

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = \frac{1}{2} A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.5

Liste todas as soluções.

$B = \frac{1}{2}, A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 2}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$- \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 2}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 2}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{x \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 2}$

Etapa 1.5.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$- \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 2}$

Etapa 1.5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{2 x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 2}$

Etapa 1.5.5

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x - 2}$ .

$\int - \frac{1}{2 x} + \frac{1}{2 (x - 2)} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \frac{1}{2 x} d x + \int \frac{1}{2 (x - 2)} d x$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{2 x} d x + \int \frac{1}{2 (x - 2)} d x$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 2)} d x$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 2)} d x$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 2} d x$

Etapa 7

Deixe $u = x - 2$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u = x - 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 7.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 9

Simplifique.

$- \frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 2$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 2 |) + C$