Cálculo Exemplos

$y = 4 x^{3} + 5 x^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} + 5 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 x^{2} + 5 (2 x)$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 10 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{2} + 10 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [10 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x + 10 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$24 x + 10 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $10$ por $1$ .

$f'' (x) = 24 x + 10$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $24 x + 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $24$ por $1$ .

$24 + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$24 + 0$

Etapa 3.3.2

Some $24$ e $0$ .

$f''' (x) = 24$

Etapa 4

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24$ em relação a $x$ é $0$ .

$f^{4} (x) = 0$